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< Teorema di Bloch | Indice | Legame forte (tight binding) >

Prima di affrontare modelli realistici per gli elettroni nei diversi materiali, e cioè di determinarne funzioni d'onda e spettro dei livelli, conviene calcolare il numero degli autostati disponibili. Esso è determinato univocamente dalle dimensioni del cristallo, attraverso le condizioni al contorno sulle autofunzioni; equivale infatti al numero di punti {$\mbox{\it\bf k}$} nello spazio reciproco che corrispondono ad autostati elettronici ammessi. Questi punti sono distribuiti entro un volume dello spazio reciproco nel quale il modulo del vettore {$\mbox{\it\bf k}$} varia tra zero (l'onda piana costante, di lunghezza d'onda infinita) ed un valore massimo, determinato dal passo del reticolo.

Per procedere al conteggio occorre fissare esplicitamente le condizioni al contorno; se si suppone che il cristallo sia un parallelepipedo di spigoli {$L_i\mbox{\it\bf a}_i$} ({$L_i$} interi), ciò equivale a specificare il valore della funzione d'onda e della sua derivata sul bordo. Ad esempio si potrebbe imporre che le onde (piane, per fissare le idee, ma lo stesso criterio vale per le onde di Bloch) abbiano nodi sui bordi, come si richiede per le onde elastiche in una corda. è equivalente e più conveniente una scelta alternativa, che può apparire arbitraria, ma che evita di vincolare il risultato ad una particolare forma del campione.

Si tratta delle condizioni cicliche (o di Born-Von Káarmán), in base alle quali il cristallo è replicato infinite volte nello spazio, oppure - il che è lo stesso - ogni suo estremo viene fatto combaciare con l'estremo opposto, al di là dell'origine. La condizione, che per un filo monodimensionale equivarrebbe a chiuderlo in una circonferenza, è espressa da:

{$ (23)\qquad\qquad \psi_{\mbox{\it\bf k}}(\mbox{\it\bf r}+L_i\mbox{\it\bf a}_i)=\psi_{\mbox{\it\bf k}}(\mbox{\it\bf r}) .$}

Per uno stato di Bloch (equazione 22) questo implica che {$\e^{i\mbox{\it\bf k}\cdot L_i\mbox{\it\bf a}_i}=1$}, {$i=1,2,3$}, ossia, ricordando le relazioni di ortogonalità tra i vettori primitivi {$\mbox{\it\bf g}_i$} del reticolo reciproco e quelli del reticolo diretto, equazione 9, che:

{$ (24)\qquad\qquad \mbox{\it\bf k}= \sum_i \frac {m_i}{L_i} \mbox{\it\bf g}_i \quad(m_i\,\, \mbox{interi}).$}

Quindi sono ammessi solo valori discreti del vettor d'onda {$\mbox{\it\bf k}$}, spaziati uniformemente e assai finemente: la distanza tra uno di essi ed i punti immediatamente vicini è {$\frac {g_i}{L_i}$}, dove {$L_i$} è un numero dell'ordine di {$10^{8}$} per cristalli di qualche cm³.

Per contare quanti stati sono disponibili in tutto occorre però esplorare l'estremo dei grandi vettori d'onda. Esistono ad esempio i vettori primitivi del reticolo reciproco, {$\mbox{\it\bf g}_i$}, che si ottengono dall'equazione 24 per {$m_i=L_i$}, per i quali vale l'equazione 6:

{$\qquad\qquad e^{i\mbox{\it\bf g}_i\cdot\mbox{\it\bf R}}=1$}.

Da questa condizione e dal teorema di Bloch si ricava che la funzione d'onda {$\psi_{\mbox{\it\bf g}_i}(\mbox{\it\bf r})$} è una funzione periodica (infatti dà luogo all'autovalore 1 per qualsiasi traslazione reticolare); si ricava inoltre che all'onda di Bloch etichettata da {$\mbox{\it\bf k}^\prime=\mbox{\it\bf g}_i+\mbox{\it\bf k}$} corrisponde lo stesso autovalore degli operatori di traslazione {${\cal T}_{\mbox{\it\bf R}}$} che all'onda etichettata da {$\mbox{\it\bf k}$} (infatti {$e^{i\mbox{\it\bf k}\cdot\mbox{\it\bf R}} = e^{i\mbox{\it\bf k}^\prime \cdot\mbox{\it\bf R}}$}). Questi due vettori, {$\mbox{\it\bf k}$} e {$\mbox{\it\bf k}^\prime$}, sono quindi etichette equivalenti per entrambi gli autostati.

In realtà vi sono infinite etichette equivalenti, una per ogni {$\mbox{\it\bf k}^\prime=\mbox{\it\bf G}+\mbox{\it\bf k}$}, con {$\mbox{\it\bf G}$} appartenente al reticolo reciproco. La descrizione degli stati in termini dei vettori d'onda risulta già completa entro una singola cella del reticolo reciproco ed i vettori {$\mbox{\it\bf k}$} che giacciono al di fuori di essa riproducono stati già rappresentati da vettori al suo interno. scegliere come cella di riferimento quella centrata nell'origine, ossia la prima zona di Brillouin; il momento cristallino totale di tutti gli stati contenuti in questa cella (la somma di tutti i valori di {$\mbox{\it\bf k}$} interni) è nullo e per questo motivo la scelta risulterà opportuna. Ci si riferisce alla descrizione di tutti gli stati entro la sola prima zona come allo schema della zona ridotta.

Ma allora possiamo contare molto rapidamente quanti valori di {$\mbox{\it\bf k}$} distinti esistono: considerando per semplicità un reticolo cubico di passo {$a$}, si ha un valore ogni {$\frac {2\pi} {La}$} (equazione 24) per ciascuna delle tre direzioni in cui si estende la cella, che è definita da

{$ (25)\qquad\qquad -\frac {\pi} a \le k_i < \frac {\pi} a .$}

In totale ci sono {$N=(\frac {La}{2\pi}\, \frac {2\pi} a)^3=L^3$} valori, cioè un numero di stati nella prima zona di Brillouin pari al numero delle celle contenute nel reticolo diretto. Ciascuno di essi occupa un volume pari ad un {$N$}-esimo del volume della zona

{$\qquad\qquad \frac {\mbox{\it\bf g}_1\cdot\mbox{\it\bf g}_2\times\mbox{\it\bf g}_3} N =\frac {8\pi^3} {Nv_{cella}} = \frac {8\pi^3} V$},

dove {$v_{cella}$} è il volume di una cella del reticolo diretto e {$V$} quello di tutto il cristallo. Questo conteggio è utile perchè nel seguito valuteremo somme sugli stati {$\mbox{\it\bf k}$} trattandoli come un continuo, e cioè sostituendo alla sommatoria il corrispondente integrale sul volume unitario, opportunamente normalizzato

{$ (26)\qquad\qquad \sum_{\mbox{\it\bf k}} \rightarrow \frac 1 {8\pi^3} \int d\mbox{\it\bf k} .$}

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