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StrutturaPeriodicaDeiCristalli

< L'approssimazione di Hartree-Fock nei solidi | Indice | Invarianza traslazionale e cella elementare >

Sebbene in linea di principio si possa pensare di ricavare la struttura cristallina - cioè la disposizione degli atomi nei solidi - come soluzione di un problema microscopico, avendo come unico ingrediente l'hamiltoniana dell'equazione Eq. 1, una derivazione di questo tipo è assai complessa e trascende lo scopo di questo corso.

Ci limiteremo ad assumere le strutture che si osservano sperimentalmente, senza giustificarle^[1], e a trarre importanti conseguenze dalla loro regolarità.

Un gran numero di materiali si presenta allo stato cristallino: sono cristalli ad esempio i metalli, molte delle roccie, i semiconduttori dei circuiti integrati, le ceramiche ed anche alcune plastiche. Molti più materiali quindi di quel che si potrebbe pensare e certamente non solo le gemme dei gioiellieri ed i quarzi che affiorano ogni tanto dalla roccia, e che suggeriscono la disposizione ordinata dei loro atomi dalla simmetria delle faccie (la morfologia).

Per la materia condensata esistono tre stati principali^[2]: quello liquido, quello cristallino, per l'appunto, ed infine lo stato amorfo.

Lo stato cristallino è quello energeticamente più stabile ed è quindi realizzato alle basse temperature. Si noti che è invece sostanzialmente amorfo quel vetro che viene chiamato comunemente, per accidente storico, cristallo.

Ma cosa significa esattamente cristallo e quali sono le manifestazioni di questo stato? I cristalli sono strutture ordinate, periodiche di atomi o molecole. Come si è accennato alcuni cristalli dimostrano la loro natura regolare attraverso la presenza di facce perfettamente piane e di spigoli vivi che ne rivelano la simmetria. Nella maggioranza dei casi però non è così sia perchè spesso si ha a che fare con policristalli, ovvero con agglomerati di numeri elevati di cristallini microscopici.

La natura cristallina dei solidi, se non è sempre evidente a prima vista, si manifesta però chiaramente all'indagine fisica: le grandezze fisiche misurate mostrano direttamente la simmetria della disposizione regolare periodica dei loro componenti.

L'effetto più marcato e peculiare della disposizione periodica degli atomi, e assieme quello che storicamente rivelò tale disposizione, è connesso alla diffrazione della radiazione elettromagnetica di lunghezza d'onda paragonabile alla periodicità spaziale del cristallo: il reticolo tridimensionale produce fenomeni di interferenza che, a causa dell'elevatissimo numero di centri diffusori, danno coerenza di fase (cioè sono costruttivi) solo in pochi, stretti picchi orientati in ben precise direzioni rispetto al reticolo stesso ed alla direzione del fascio incidente. È l'immagine di M. Von Laue del cristallo ottenuta dal fisico tedesco e dai suoi collaboratori W. Friedrich a P. Knipping nel 1912 in un esperimento che originariamente era volto a dimostrare la natura ondulatoria dei raggi X impiegati: Friedrich ricorda con emozione quella sera di aprile quando, sviluppando la lastra impressionata dai raggi X che avevano attraversato un cristallo di solfato di rame, vide comparire le nitide tracce dei raggi deflessi. Il fenomeno d'interferenza all'origine dell'immagine venne spiegato in modo semplice da W. L. Bragg nel 1913 ed è quindi chiamato diffrazione alla Bragg.

Schizzo dall'immagine ottenuta da Von Laue nel 1912 con raggi X su un cristallo di solfato di rame

Come vedremo nel corso del capitolo questo non è l'unico fenomeno che denuncia la presenza di un substrato atomico regolare; ve ne sono al contrario molti altri ed è importante sottolineare che la maggior parte delle proprietà - elettroniche, elastiche, magnetiche - che mettono in luce questa natura periodica dei cristalli si possono ricondurre ad un fenomeno d'interferenza, riguardante di volta in volta l'onda associata all'elettrone quantistico, l'onda vibrazionale (in realtà quantizzata anch'essa), l'onda di spin, etc. Misure basate su questi fenomeni producono immagini reciproche dei reticoli, ossia le trasformate di Fourier dell'immagine (più è corto il passo del reticolo, più separati risultano i punti immagine, come nella diffrazione alla Bragg).

Un'immagine di questo tipo si può ottenere anche attraverso misure di incanalamento (channelling): particelle leggere (ad esempio nuclei) di alta energia ({$> 1$} MeV) attraversano un cristallo sottile solo se sono dirette in ben precise direzioni cristallografiche, che offrono canali vuoti delimitati da linee di atomi.

La disposizione atomica regolare si evince indirettamente anche dalla anisotropia delle proprietà macroscopiche (come, ad esempio, la dipendenza dalla direzione dell'indice di rifrazione, della conducibilità termica, etc.). La presenza di direzioni equivalenti mette in risalto le simmetrie del cristallo: se il reticolo è cubico misure lungo i tre spigoli uguali devono dar luogo allo stesso risultato^[3]

Perciò è importante affrontare una descrizione formale delle simmetrie cristalline: un rapido cenno ai concetti fondamentali della cristallografia semplificherà la descrizione di tutte le altre proprietà. Inoltre, come si è visto nel caso degli atomi, le simmetrie corrispondono a principi di conservazione che semplificano i calcoli; così come dalla simmetria sferica del potenziale centrale scende la conservazione dei momenti angolari, dalle simmetrie traslazionali e puntuali dei cristalli derivano utili principi di conservazione.

Quanto andremo sviluppando si riferisce ovviamente al caso ideale di cristallo perfetto: dopo aver affinato gli strumenti per descrivere formalmente questo modello si possono studiare, per confronto con esso, anche le deviazioni introdotte da impurezze, agitazione termica, difetti di equilibrio dovuti alle condizioni di crescita e alle deformazioni meccaniche.

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