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TeoremaDiBloch

< Gli elettroni nei cristalli | Indice | Condizioni al contorno di Born-Von Karman e numero degli stati >

Per concretezza fissiamo le idee, come fece Bloch in origine, su uno degli elettroni del cristallo; senza scendere nel dettaglio di come è fatta la sua hamiltoniana {${\cal H}$} sappiamo per certo che essa dovrà essere invariante per traslazioni di vettori del reticolo diretto, {$\mathbf R=\sum_i n_i \mathbf a_i$}: se spostiamo il reticolo infinito di un numero intero di passi il potenziale periodico a cui è soggetto l'elettrone resta il medesimo. Con questa sola ipotesi il teorema di Bloch asserisce che, ''per ogni autostato {$\psi$} dell'hamiltoniana {${\cal H}$} esiste un vettore {$\mathbf k$} per mezzo del quale l'autostato può essere scritto come:

{$$ (20)\qquad\qquad \psi_{\mathbf k}^{\alpha}(\mathbf r) = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} u_{\mathbf k}^{\alpha}(\mathbf r),$$}

dove {$u$} è una funzione periodica: {$u_{\mathbf k}^{\alpha}(\mathbf r+\mathbf R) = u_{\mathbf k}^{\alpha}(\mathbf r)$}. Abbiamo aggiunto {$\mathbf k$} a pedice sia di {$u$}, sia di {$\psi$} perchè, proprio in virtù del teorema che stiamo per dimostrare, ognuna delle autofunzioni 20, che d'ora in avanti chiameremo onde o funzioni di Bloch, è contraddistinta da uno di questi vettori. Procederemo prima ad una dimostrazione formale del teorema e poi alla discussione del suo significato fisico.

In meccanica quantistica l'invarianza di {$\cal H$} si esprime dicendo che, se {${\cal T}_{\mathbf R}$} è l'operatore che trasla lo stato {$\psi(\mathbf r)$} - ovvero {${\cal T}_{\mathbf R}\psi(\mathbf r)=\psi(\mathbf r+\mathbf R)$} - gli operatori {$\cal H$} e {$\cal T_{\mbox{\it\bf R}}$} commutano. Ne consegue che, se {$\psi(\mbox{\it\bf r})$} è un autostato di {$\cal H$}, anche gli infiniti {${\cal T}_{\mbox{\it\bf R}}\psi(\mbox{\it\bf r})$} - uno per ogni vettore {$\mbox{\it\bf R}$} del reticolo diretto - lo sono, e che, in più, essi sono pure autostati degli operatori di traslazione. Gli operatori {${\cal T}$} sono unitari, poichè la traslazione non modifica la norma delle autofunzioni, e quindi hanno autovalori complessi di modulo 1, esprimibili come {$e^{i\alpha}$}, per mezzo di una fase {$\alpha$} nel piano di Gauss. Consideriamo in particolare i tre vettori primitivi {$\mbox{\it\bf a}_i$}, {$i=1,2,3$}: se {$\alpha_i$} è la fase dell'autovalore di {${\cal T}_{\mbox{\it\bf a}_i}$} relativo a {$\psi$}, si può scrivere, definendo {$k_i\equiv \frac {\alpha_i} {|\mbox{\it\bf a}_i|}$}

{$ (21)\qquad\qquad{\cal T}_{\mbox{\it\bf a}_i} \psi(\mbox{\it\bf r}) = \psi(\mbox{\it\bf r}+\mbox{\it\bf a}_i) = e^{i k_i a_i}\psi(\mbox{\it\bf r}) .$}

In questo modo si ottengono le tre componenti {$k_i$} di un vettore {$\mbox{\it\bf k}$} che permette di scrivere l'autovalore relativo a {$\psi\equiv\psi_{\mbox{\it\bf k}}$} per qualsiasi operatore di traslazione {${\cal T}_{\mbox{\it\bf R}}$}, con {$\mbox{\it\bf R}=\sum_i n_i\mbox{\it\bf a}_i$} appartenente al reticolo. Infatti, dato che le traslazioni commutano tra di loro^[1], l'autovalore relativo a {$\psi_{\mbox{\it\bf k}}$} sarà {$e^{i\mbox{\it\bf k}\cdot\mbox{\it\bf R}}$}, come si verifica facilmente applicando in successione le traslazioni elementari.

In definitiva abbiamo dimostrato che per gli autostati di {$\cal H$} vale:

{$ (22)\qquad\qquad \psi_{\mbox{\it\bf k}}(\mbox{\it\bf r}+\mbox{\it\bf R})=e^{i\mbox{\it\bf k}\cdot\mbox{\it\bf R}}\psi_{\mbox{\it\bf k}}(\mbox{\it\bf r}) .$}

Da questa relazione scende facilmente l'equazione 20, che abbiamo dato come enunciato del teorema: basta controllare che {$u_{\mbox{\it\bf k}}(\mbox{\it\bf r})\equiv\psi_{\mbox{\it\bf k}}(\mbox{\it\bf r})\,e^{-i\mbox{\it\bf k}\cdot{\mbox{\it\bf r}}$} è effettivamente una funzione con la periodicità del reticolo, facendo uso dell'equazione 22.

La dimostrazione è del tutto analoga per le soluzioni di un'equazione classica del moto governata da una hamiltoniana che goda delle stesse simmetrie traslazionali. Le vibrazioni dei nuclei atomici possono essere descritte in una prima approssimazione classica, e ricadono anche in questo caso sotto il teorema di Bloch. Non ci si deve quindi far fuorviare dal linguaggio operatoriale qui adottato: il teorema di Bloch non è per sua natura quantistico.

Nel resto del paragrafo ritorneremo ad occuparci esclusivamente di elettroni. Discutiamo innanzitutto il significato fisico che il vettore {$\mbox{\it\bf k}$} riveste per essi. L'esempio più semplice di onde di Bloch sono le autofunzioni dell'elettrone libero, ossia le onde piane; per esse il fattore periodico {$u_{\mbox{\it\bf k}}(\mbox{\it\bf r})$} vale 1, e infatti gli elettroni liberi sono un caso limite di autofunzioni relative ad un potenziale cristallino, il potenziale costante (che può anche essere considerato periodico, essendo invariante per qualsiasi traslazione).

Sappiamo che il vettor d'onda {$\mbox{\it\bf k}$} è proporzionale al momento lineare dell'onda piana, {$\hbar\mbox{\it\bf k}$}. Quindi in questo caso particolare l'etichetta che il teorema di Bloch garantisce ad ogni stato riveste il significato di autovalore del momento lineare (in unità di {$\hbar$}).

In base alla equazione 20, ad ogni onda di Bloch corrisponde una particolare onda piana, ma, viceversa, le onde di Bloch non sono in generale autofunzioni del momento lineare; infatti applicando l'operatore {$\mbox{\it\bf p}=-i\hbar\nabla$} all'intera onda di Bloch si ottiene

{$ \qquad \qquad \hbar\mbox{\it\bf k} e^{i\mbox{\it\bf k}\cdot\mbox{\it\bf r}}u_{\mbox{\it\bf k}}(\mbox{\it\bf r}) + e^{i\mbox{\it\bf k}\cdot\mbox{\it\bf r}}[-i\hbar\nabla u_{\mbox{\it\bf k}}(\mbox{\it\bf r})] , $}

ossia un contributo {$\hbar\mbox{\it\bf k}$} dall'onda piana che modula l'ampiezza periodica {$u_{\mbox{\it\bf k}}$}, più un secondo contributo, che non è più proporzionale all'autofunzione complessiva. D'altro canto la conservazione del momento lineare discende nello spazio libero dalla completa invarianza traslazionale, che nel cristallo è ristretta alle sole traslazioni discrete del reticolo.

Ma {$\mbox{\it\bf k}$} conserva in parte il suo legame con la quantità di moto, non già quella del singolo elettrone, bensì quella scambiata negli urti. In un urto infatti se l'elettrone di Bloch aumenta il suo vettor d'onda della quantità {$\delta\mbox{\it\bf k}$}, esso acquista un momento pari ad {$\hbar(\delta\mbox{\it\bf k}+\mbox{\it\bf G})$}, dove {$\mbox{\it\bf G}$} è un qualunque vettore del reticolo reciproco (incluso quello nullo); la variazione di momento {$\hbar\mbox{\it\bf G}$} viene fornita dal cristallo nel suo insieme. Questa conservazione a meno di quantità discrete può essere vista come conseguenza della invarianza per traslazioni discrete e giustifica il nome di momento cristallino che si riserva a {$\mbox{\it\bf k}$}.

Il teorema di Bloch garantisce che con {$\mbox{\it\bf k}$}, al di là del suo significato fisico, si possono etichettare gli autostati, come avviene con i buoni numeri quantici per gli stati atomici. Il fatto che l'etichetta sia il momento cristallino, ossia il vettor d'onda dell'onda piana associata alla funzione di Bloch, fa sì che ciascun autostato corrisponda ad un punto nello spazio reciproco.

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