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ReticoloReciproco

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Si è accennato al fatto che la diffrazione di onde su cristalli è analoga al fenomeno dell'interferenza della luce su di un reticolo piano (il cosiddetto reticolo di Ronchi), che si studia abitualmente in ottica. Già in quell'ambito si dimostra che la figura d'interferenza alla Fraunhofer? coincide con la trasformata di Fourier spaziale dell'oggetto, e infatti la figura di diffrazione della singola fenditura è la trasformata dell'onda quadra. Mostreremo che la stessa descrizione duale (immagine a grande distanza - trasformata di Fourier spaziale) vale per un cristallo tridimensionale. Per questo motivo, prima di affrontare la diffrazione sui cristalli, conviene introdurre una costruzione formale che consenta di maneggiare le trasformate di Fourier spaziali di un determinato reticolo. Questa costruzione è il reticolo reciproco; esso è definito come l'insieme dei nodi {$\mathbf{ G}$} per i quali l'uguaglianza:

{$$ (6) \qquad\qquad e^{i\mathbf {G}\cdot\mathbf {R}}=1 $$}

vale per ogni vettore {$\mbox{\it\bf R}$} del reticolo di Bravais^[1] di partenza, detto in questo contesto reticolo diretto.

Prima di analizzare formalmente la definizione notiamo che il membro sinistro della equazione 6 ha la forma di un onda piana di vettor d'onda {$\frac {2\pi} \lambda = |\mbox{\it\bf G}|$}. Quindi i vettori {$\mbox{\it\bf G}$} del reticolo reciproco sono i vettori d'onda di tutte le onde piane in equifase sui nodi del reticolo diretto, vale a dire con periodicità uguale o sottomultipla di quella del cristallo. Anche le funzioni che descrivono le proprietà fisiche del cristallo (ad esempio, la densità elettronica complessiva, quella nucleare, o i potenziali cristallini a cui sono soggetti i fasci di radiazione o di particelle utilizzati negli esperimenti di diffrazione) sono di periodicità pari a quella del reticolo diretto, e avranno componenti di Fourier non nulle {\sl solo} in corrispondenza ai vettori {$\mbox{\it\bf G}$}. Questo fatto rende conveniente la descrizione nello spazio dei vettori d'onda.

Ritorniamo ora agli aspetti formali dell'equazione 6: si vede facilmente che i vettori {$\mbox{\it\bf G}$} definiscono effettivamente a loro volta un reticolo - il reticolo reciproco, per l'appunto. Infatti essi si possono scrivere come:

{$ (7)\qquad\qquad \mbox{\it\bf G} = \sum_{i=1}^3 m_i \mbox{\it\bf g}_i, $}

con coefficienti {$m_i$} interi, a patto di aver definito i vettori primitivi del reticolo reciproco, {$\mbox{\it\bf g}_i$}, nel seguente modo:

{$ (8) \qquad\qquad \mbox{\it\bf g}_1= \frac {2\pi\mbox{\it\bf a}_2\times\mbox{\it\bf a}_3} {\mbox{\it\bf a}_1\cdot(\mbox{\it\bf a}_2\times\mbox{\it\bf a}_3)}\qquad\qquad\mbox{\ }$}(e permutazioni cicliche).

Per mostrare che i vettori così definiti soddisfano l'equazione 6 basta rendersi conto che tra essi ed i vettori primitivi del reticolo diretto vale la relazione:

{$ (9) \qquad\qquad \mbox{\it\bf g}_i\cdot\mbox{\it\bf a}_j = 2\pi\delta_{ij}.$}

Allora il prodotto scalare tra {$\mbox{\it\bf G}$} ed un qualsiasi vettore {$\mbox{\it\bf R}$} dato dall'equazione 5 risulta essere pari a {$2\pi\sum_{i=1}^3 m_i n_i$}, che è un multiplo intero di {$2\pi$} e la equazione 6 è senz'altro soddisfatta.

Quanto detto non costituisce la dimostrazione completa del fatto che l'equazione 6 definisce un reticolo e che l'equazione 8 ne descrive i vettori primitivi, ma il lettore può completare il ragionamento formale.

Si noti che, dalla definizione stessa di reticolo reciproco, contenuta nell'equazione 6, scende che il reticolo reciproco del reticolo reciproco è il reticolo diretto. Vedremo ora una prima importante proprietà del reticolo reciproco, che ne mette in relazione i nodi coi piani del reticolo diretto.

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