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IncertezzaSullaMedia< Valore più probabile | Indice | Media pesata di dati con diverse varianze > Incertezza sulla media Abbiamo già notato che rappresentando con un istogramma la distribuzione sperimentale dei dati di una misura ripetuta ci si rende immediatamente conto che il valor medio, ossia il centro della distribuzione limite che meglio descrive i dati, può essere noto con precisione superiore all'incertezza della singola misura. Supponiamo infatti di avere {$N$} valori misurati {$\{x_i\}$}, tutti con la stessa incertezza nota a priori, {$\sigma_i=\sigma$} (ad esempio la precisione, nota, dello strumento di misura). Se consideriamo la media dei valori sperimentali, {$ (1) \qquad\qquad \mu = \frac 1 N \sum_{i=1}^N x_i $} come la migliore approssimazione del valore vero, come s'è appena giustificato con il criterio della massima verosimiglianza, possiamo calcolarne la varianza considerandola funzione degli {$N$} valori sperimentali ed applicando la propagazione degli errori: {$ (2) \qquad\qquad \sigma_\mu^2= \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 (\frac {\partial \mu} {\partial x_i})^2 $} La derivata tra parentesi si calcola facilmente dall'equazione (1) e risulta pari alla costante {$N$}. In questo modo si può portar fuori dalla sommatoria assieme alle varianze dei valori, tutte uguali. Siccome la somma di {$N$} termini costanti pari all'unità dà {$N$} l'equazione (2) si riduce a quindi a: {$ (3) \qquad\qquad \sigma_\mu^2 = \sigma^2 \frac N {N^2} $} ossia: {$ (4) \qquad\qquad \sigma_\mu = \frac \sigma {\sqrt{N}} $} e l'incertezza sulla media risulta ridotta in ragione della radice del numero di misure. < Valore più probabile | Indice | Media pesata di dati con diverse varianze > |