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MassimaVerosimiglianza< Stime di medie ed errori e test dell'accordo | Indice | Valore più probabile > Principio della massima verosimiglainza (maximum likelihood) Cominceremo ad illustrare il principio dal primo punto della pagina precedente, ossia dall'accordo tra distogramma dei dati e distribuzione attesa. Supponiamo di aver ottenuto {$N$} misure ripetute {$\{x_i\}$} indipendenti, di una grandezza e di attenderci che siano distribuite normalmente con una certa varianza {$\sigma^2$} attorno ad un valor medio {$\mu$}, entrambi non ancora noti. Questa è una pura supposizione e possiamo chiederci come controllarla, ma se essa è valida la probabilità che il valore i-esimo sia in accordo con la distribuzione normale deve essere dato da: {$ p_i = \frac 1 {\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac 1 2 (\frac {x_i-\mu} \sigma)^2} $} Visto che le {$N$} misure sono indipendenti le loro probabilità saranno scorrelate e la probabilità totale di ottenere quegli {$N$} valori (o valori equivalenti dal punto di vista statitico), sarà data dal prodotto: {$ (1) \qquad\qquad P = \prod_{i=1}^N p_i = (\frac 1 {\sigma \sqrt{2 \pi}})^N e^{- \frac 1 2 \sum_i (\frac {x_i-\mu} \sigma)^2} $} Il criterio della masima verosimiglianza stabilisce semplicemente che per ogni serie di misure {$\{x_i\}$} deve essere massima la probabilità {$P$}. Ma per rendere massima {$P$}, basta rendere minimo l'esponente (che è definito positivo!) della espressione (1), ossia: {$ (2) \qquad\qquad \chi^2=\sum_i(\frac {x_i-\mu} \sigma)^2, $} quantità che viene chiamata chi quadro, dalla lettera greca che la rappresenta solitamente. Quindi il criterio della massima verosimiglianza si può tradurre nel cosiddetto metodo dei minimi quadrati (è sottointeso degli scarti), che consiste nel trovare il minimo della funzione {$\chi^2$}. Si vedrà più avanti che è istruttivo discutere il minimo valore della funzione così come l'abbiamo definita, ma è evidente che, ai fini pratici, se la varianza dei dati è una costante, basta trovare i valori che rendono minima la somma degli scarti quadrati, ossia il numeratore della (2). < Stime di medie ed errori e test dell'accordo | Indice | Valore più probabile > |