Carnot

Se il II principio garantisce che parte dell'energia fornita ad un motore sotto forma di calore assorbito dovrà esser edissipata verso l'esterno senza produrre lavoro si può classificare i motori in mase al loro rendimento, che ne misura l'efficienza.

Nel motore automobilistico si paga la benzina che, bruciando, mette a disposizione {$Q_a$} e si produce un lavoro meccanico che comporta la rotazione delle ruote. È naturale valutare il rapporto tra l'energia prodotta {$W$} e quella spesa {$Q_a$} come rendimento

{$$\begin{equation}\eta = \frac W {Q_a} = \frac {Q_a-Q_d}{Q_a} = 1 - \frac{Q_d}{Q_a}\end{equation}$$}

Elenchiamo qui le più comuni trasformazioni che assorbono calore, mostrate nella Fig. 1, ricordando rapidamente perchè assorbono:

• una espansione isoterma: per un gas perfetto {$dU=0$} e quindi dal I principio {$dQ=pdV$}, quindi una espansione compie un lavoro positivo e assorbe calore; questo ragionamento vale anche per una isoterma di gas reale, se prossima alle condizioni del gas ideale.
• una espansione isobara: parte da una temperatura minore e arriva ad una maggiore come ci si convince facilmente disegnando le isoterme; di conseguenza sia {$dU$} che {$pdV$} sono positivi e così il calore
• un'aumento di pressione isocoro: anch'esso parte da una temperatura inferiore ed arriva ad una superiore, non compie lavoro e l'aumento d'energia interna deve essere fornito dal calore assorbito {$dQ=dU$}

Le adiabatiche per definizione non scambiano calore. Ripercorrendo l'elenco al contrario dissipano calore

• le compressioni isoterme
• le compressioni isobare
• le diminuzioni isocore di pressione

Figura 1. Trasformazioni che assorbono calore: espansione isobara 14, espansione isoterma 13'4', isocora 15. La adiabatica 12 non scambia calore. Tutte le trasformazioni che partono da 1 e giacciono sopra di essa assorbono calore.

Sadi Carnot (1796-1832) ideò il motore reversibile (quindi ideale) basato sul ciclo mostrato in Fig. 2. Per calcolare cosa succede immagineremo {$n$} moli di un gas perfetto di costante {$\gamma$} con i valori di pressione e volume indicati dal grafico

1. espansione isoterma a {$T_C$}: {$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$} {$p_1V_1=p_2V_2$},
   calore assorbito {$Q_{12}=nRT_C\ln V_2/V_1$}
2. espansione adiabatica con raffreddamento fino a {$T_F$}: {$\qquad p_2V_2^\gamma=p_3V_3^\gamma$},
   calore {$Q=0$},
3. compressione isotema a {$T_F$}: {$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$} {$p_3V_3=p_4V_4$},
   calore dissipato {$Q_{43}=nRT_F\ln V_3/V_4$}
4. compressione adiabatica con riscaldamento fino a {$T_C$}: {$\qquad p_4V_4^\gamma=p_1V_1^\gamma$},
   calore {$Q=0$}

Dalla seconda e dalla quarta equazione

{$$\frac {p_2}{p_3} = \left(\frac {V_3}{V_2} \right)^\gamma \qquad \frac {p_1}{p_4} = \left(\frac {V_4}{V_1} \right)^\gamma$$}

Dal rapporto tra la prima e la terza equazione

{$$\frac {p_2}{p_3} = \frac {p_1}{p_4} \frac {V_1V_3}{V_2V_4} $$}

Sostituendo le prime due in questa e riaggregando si ottiene una uguaglianza tra rapporti di volumi elevati alla {$\gamma-1$}. La radice {$\gamma-1$} di ambo i membri fornisce l'uguaglianza dei rapporti tra i volumi estremi delle due isoterme

{$$\frac {V_2}{V_1} = \frac {V_3}{V_4}$$}

Con questa conclusione possiamo calcolare il rendimento del ciclo dal membro destro della Eq. 1.

{$$\eta = 1 - \frac {nRT_F \ln \frac {V3}{V4}}{nRT_C \ln \frac {V2}{V1}} = 1 - \frac {T_F}{T_C}$$}

Questa espressione dipende solo dalle due temperature (espresse in gradi Kelvin) e vale per qualunque ciclo di Carnot reversibile basato su un gas perfetto, indipendentemente dalle proprietà fisiche estensive {$n$} del gas.

Figura 2: ciclo di Carnot, Il grafico è calcolato con le costanti indicate in figura, ma il ragionamento è indipendente da questi valori.

Il teorema (dimostrabile solo in qualche misura), è in realtà un enunciato del II principio equivalente a quello già visto. Le affermazioni sono le seguenti

• Di tutti i cicli reversibili che agiscono tra le due temperature {$T_C$} e {$T_F$} il ciclo Carnot è quello con il rendimento massimo

{$$\eta = 1 - \frac {T_F}{T_C}$$}

• Qualunque ciclo irreversibile tra le stesse due temperature ha rendimento minore

Il significato è fatto di due parti. La prima è che si sottointende che il rendimento del ciclo di Carnot non dipende neppure dalle proprietà intensive del sistema termodinamico che subisce il ciclo (potrebbe essere un gas reale, qualunque gas, ma potrebbe anche non essere un gas). Il rendimento dipende solo dalle temperature dei due termostati, e il punto è che un ciclo di Carnot scambia calore con due soli termostati.

La seconda è data dal fatto che altri cicli composti da qualunque altra successione di trasformazioni reversibili, contenute tra le due isoterme, hanno rendimenti inferiori. Questo si può mostrare limitatamente ai gas perfetti. Il secondo principio assume che sia vero per qualunque sostanza.

Il significato di queste due parti si chiarirà quando mostreremo che è equivalente all'enunciato di Kelvin.