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Immaginiamo che tra le due isoterme {$T_C$} e {$T_F$} si costruisca un ciclo reversibile qualunque, contenuto tra di esse. Qui considereremo ad esempio un ciclo fatto da due adiabatiche e due isocore, e uno fatto da due adiabatiche e da due isobare, come mostrato in Fig. 1.
Si può calcolare il rendimento di questi due cicli notando che il calore assorbito e dissipato sono solo quelli delle due isocore (o delle due isobare). Se chiamiamo {$T_1>T_F$} e {$T_2<T_C$} le due temperature intermedie del ciclo con le isocore avremo {$Q_a=C_V(T_C-T_2)$} e {$Q_d=C_V(T_1-T_F)$}. In questo caso si avrà
{$$\eta= 1-\frac {T_1-T_F}{T_C-T_2} $$}
Siccome la variazione di entropia nel ciclo è nulla
{$$C_V \ln\frac {T_1}{T_F} = C_V \ln \frac {T_c}{T_2}$$}
ossia {$T_1/T_F =T_C/T_2$} per cui l'efficienza di questo ciclo si può scrivere
{$$\eta = 1 - \frac {{T_1}\left(1-\frac {T_F}{T_1}\right)} {T_C\left(1 -\frac{T_2}{T_C}\right)} = 1- \frac{T_1}{T_C}<1- \frac{T_F}{T_C}$$}
Un ragionamento simile vale per il ciclo con le isobare, con {$T_3>T_F$} e {$T_4<T_C$} le due temperature intermedie del ciclo con le isobare avremo {$Q_a=C_p(T_C-T_4)$} e {$Q_d=C_p(T_3-T_F)$}. In questo caso si avrà
{$$\eta= 1-\frac {T_3-T_F}{T_C-T_4} $$}
Siccome la variazione di entropia nel ciclo è nulla
{$$C_p \ln\frac {T_3}{T_F} = C_p \ln \frac {T_c}{T_4}$$}
ossia {$T_3/T_F =T_C/T_4$} per cui l'efficienza di questo ciclo si può scrivere
{$$\eta = 1 - \frac {{T_3}\left(1-\frac {T_F}{T_3}\right)} {T_C\left(1 -\frac{T_4}{T_C}\right)} = 1- \frac{T_3}{T_C}<1- \frac{T_F}{T_C}$$}
Con il gas perfetto si può mostrare che qualunque combinazione di trasformazioni porta a risultati simili. Il teorema di Carnot afferma che anche questa proprietà vale sempre, di qualunque sostanza sia fatto il ciclo.
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Figura 1. Esempi di cicli che agiscono tra le due isoterme a {$T_C$} e a {$T_F$}. I) adiabatica TC-1, isocora 1-TF, adiabatica TF-2, isocora 2-TC; II) adiabatica TC-3, isobara 3-TF, adiabatica TF-4, isocora 4-TC
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