EquivalenzaEnunciatiIIPrincipio

Rudolf Clausius (1822-1888) formulò il secondo principio della termodinamica nei temini dei cicli frigoriferi. L'enunciato afferma che

• Non esiste modo di costruire un ciclo frigorifero ideale, ad esempio quello mostrato in Fig. 1, ossia un ciclo che assorba calore da una o più sorgenti fredda e lo dissipi su una o più sorgenti calde con un lavoro totale nullo compiuto sul ciclo (non richiedendo lavoro netto)

Nell'affermazione rientra l'osservazione semplice già citata che il calore non fluisce spontaneamente da una sorgente fredda ad una calda, ma vieta anche che questo risultato sia ottenuto indirettamente, attraverso diverse trasformazioni che assorbone e dissipano calore, che producono e assorbono lavoro.

Figura 1. Macchina frigorifera ideale che assorbe {$Q_A$} da una sorgente fredda e ne cede interamente una uguale quantità {$Q_D$} ad una sorgente calda, senza assorbire lavoro ({$W=0$}). Il II principio afferma che non può esistere.

La dimostrazione che questi due enunciati sono equivalenti è concettualmente semplice e può essere illustrata graficamente, ma procede per assurdo, come una dimostrazione matematica. Lo stesso procedimento si può utilizzare per dimostrare l'equivalenza dell'enunciato di Kelvin e del teorema di Carnot? oppure dell'enunciato di Clausius e del teorema di Carnot.

La reductio ad absurdum funziona così: all'andata si suppone che dei due enunciati equivalenti, {$A\equiv B$}, sia vero {$A$}, ma che per assurdo {$B$} sia falso. Si dimostra che ciò violerebbe (renderebbe falso) anche {$A$}, il che contraddice l'assunto. Per una vera dimostrazione occorre poi procedere in senso opposto, ossia, al ritorno supporre vero {$B$} e negare {$A$}, mostrando che ciò implica di nuovo anche la falsificazione di {$B$}.

Qui ci limiteremo a mostrare la prima delle tre equivalenze, e, più sotto, l'andata della seconda. Consideriamo inoltre, per semplicità, cicli che funzionano con due soli termostati, uno caldo, a {$T_C$}, ed uno freddo, a {$T_F$} (sono cicli di Carnot, ma questo è un dettaglio inessenziale, si potrebbero costruire esempi analoghi con più termostati). Il vantaggio dellareductio ad absurdum è che un doppio esempio assurdo basta per affermare l'equivalenza.

In Figura 2 si suppone per assurdo che valga Kelvin (non esistono motori ideali), ma non Clausius (non esistono frigoriferi ideali). Nel riquadro a sinistra costruiamo quindi un frigorifero ideale, e lo associamo con un motore reale, dimensionato in modo che dissipi verso il freddo esattamente la quantità di calore {$Q$} che il frigorifero ideale estrae dal termostato alla stessa temperatura. Per il primo principio il motore assorbe dal termostato la somma del calore dissipato e del lavoro, {$Q+L$}.

Siccome il calore totale scambiato da questa macchina composita con il termostato freddo è nullo, il frigorifero può fungere da termostato freddo per il motore e viceversa. Si è codispstruito così un motore ideale, che viola l'enunciato di Kelvin, contraddicendo l'ipotesi.

In Figura 3 si suppone invece che valga Clausius, ma non Kelvin. Nel riquadro a sinistra costruiamo quindi un frigorifero reale, e lo associamo con un motore ideale, dimensionato in modo che produca esattamente il lavoro {$L$} necessario al frigorifero. L'insieme dei due assorbe {$Q$} al freddo, non richiede lavoro dall'esterno e dissipa {$Q$} al caldo. Ossia si comporta come il frigorifaro ideale di destra. Contro le ipotesi viola l'enunciato di Clausius.

L'associazione dei due ragionamenti garantisce che l'unica opzione non contraddittoria è che valgono sempre congiuntamente entrambi gli enunciati, ossia che sono equivalenti.

Figura 2. Motore termico che viola l'enunciato di Kelvin, ottenuto con un motore regolare, al centro, ed un frigorifero ideale, a sinistra, ammesso per assurdo violando l'enunciato di Clausius. Il funzionamento complessivo dei due è equivalente a quello del motore ideale di destra

Figura 3. Frigorifero che viola l'enunciato di Clausius, ottenuto con un frigorifero regolare ed un motore ideale, al centro, ammesso per assurdo violando l'enunciato di Kelvin. Il funzionamento complessivo dei due è equivalente a quello del frigorifero ideale di destra

In questo caso mostreremo solo l'andata del ragionamento per assurdo. Supponiamo che sia vero Kelvin, ma falso Carnot. La Figura 4. mostra un sistema composto formato a sinistra da un frigorifero reale e al centro da un motore che viola il teorema di Carnot, ossia produce il lavoro di un ciclo di Carnot reversibile tra le due temperature, {$L=Q_A-Q_D$}, più un ulteriore lavoro pari a {$Q>0$}- Ossia il suo rendimento è

{$$\eta^\prime=1-\frac {Q_D-Q}{Q_A}>\eta = 1-\frac {T_F}{T_C}= 1-\frac {Q_D}{Q_A} $$}

Il frigorifero reale è dimensionato in modo da assorbire {$Q_D$} al freddo e dissipare {$Q_A$} al caldo, le stesse quantità di calore che il motore di Carnot rispettivamente dissiperebbe e assorbirebbe a quelle temperature. Come si vede in figura il sistema complessivamente non assorbe ne cede calore a {$T_C$} (può fare a meno di quel termostato) e trasforma l'intero calore {$Q$} assorbito da {$T_F$} in lavoro. Ossia viola l'enunciato di Kelvin, contrariamente alla premessa.

Figura 4. Motore termico che viola l'enunciato di Kelvin, ottenuto con un frigorifero reale, al sinistra, ed un motore che viola il teorema di Carnot, al centro. Il funzionamento complessivo dei due è equivalente a quello del motore ideale di destra.

Anche per i frigoriferi conviene definire un parametro adimensionale che ne misuri quella che in generale si chiama figura di merito (figure of merit), equivalente al rendimento del motore termico. In questo caso l'energia che si paga è il valore assoluto {$|L|$} del lavoro negativo compiuto dal gas per fargli assorbire una certa quantità di calore {$Q_A$} da un termostato già più freddo dell'ambiente. Si definisce perciò coefficiente di affetto frigorifero o efficienza frigorifera il rapporto

{$$\begin{equation}\varepsilon =\frac{Q_A}{|L|} = \frac {Q_A} {|Q_A-Q_D|} = \frac {Q_A} {Q_D-Q_A}\end{equation}$$}

Si mostra facilmente che per il ciclo di Carnot vale {$\varepsilon = T_F/(T_C-T_F)$}. In un ciclo reversibile generico occorre stabilire quali trasformazioni assorbono e quali dissipano calore, sommare i calori delle prime e quelli delle seconde separatamente per calcolare la definizione dell'Eq. 1. Rispetto al motore sostenuto dallo stesso ciclo si inverte il senso di percorrenza e si scambiano calori assorbiti e dissipati.