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William L. Bragg (1890-1971)]]

La condizione di interferenza costruttiva a grande distanza dal cristallo fu ricavata molto semplicemente nel 1913 da Bragg, supponendo che i piani cristallini riflettano specularmente la radiazione (anche se con un piccolo coefficiente di riflessione).

L'interferenza dipende solo dalla geometria dei cammini ottici mostrata in figura 17, dalla quale si ottiene:

{$ (14)\qquad\qquad 2d\sin \theta = n \lambda \quad(n\,\, \mbox{intero}),$}

imponendo che la differenza di cammino tra i raggi riflessi da due piani adiacenti, distanti {$d$}, sia multipla della lunghezza d'onda {$\lambda$}.

La riflessione speculare invocata da Bragg non implica un rimbalzo elastico su una superficie liscia: anche onde sferiche diffuse dagli atomi (si pensi al principio di Huygens, per semplicità) conducono alla relazione 14. Consideriamo infatti l'onda piana diffusa dall'atomo nell'origine: basta imporre che la differenza di cammino tra questa e l'onda diffusa da un qualsiasi altro atomo, in posizione {$\mbox{\it\bf R}=\sum_i n_i \mbox{\it\bf a}_i$} sia un multiplo di {$\lambda$}.

Fig. 17 Riflessione alla Bragg di radiazione di lunghezza d'onda {$\lambda$}, incidente ad un angolo {$\theta$} su piani reticolari di separazione {$d$}. In alto si mostra che la radiazione è diffusa ad un angolo {$2\theta$} rispetto alla direzione di incidenza.

(↓)

Note

Si sta supponendo - condizione di Fraunhofer - che la rivelazione sia effettuata a distanza {$\mbox{\it\bf r}$} grande rispetto alle dimensioni del cristallo (agli {$\mbox{\it\bf R}$}). Infatti si considera ogni punto {$\mbox{\it\bf R}$} come origine di un'onda sferica {$\frac {e^{ik|\mbox{\it\bf r}-\mbox{\it\bf R}|}} {|\mbox{\it\bf r}-\mbox{\it\bf R}|}$}, di ampiezza proporzionale all'interazione in quel punto (ad esempio alla densità elettronica {$n(\mbox{\it\bf R})$} per i raggi X). Occorre quindi poter trascurare {$\mbox{\it\bf R}$} nel denominatore dell'onda sferica.

Come si vede dalla figura 18, se si ricorda che {$|\mbox{\it\bf k}^\prime|=|\mbox{\it\bf k}|=k$}, ciò equivale a richiedere che:

{$ (15) \qquad\qquad \mbox{\it\bf R}\cdot\frac {\mbox{\it\bf k}^\prime} k = \mbox{\it\bf R} \cdot \frac {\mbox{\it\bf k}} k + n\lambda .$}

Moltiplicando ambo i membri per {$k=\frac {2\pi} \lambda$} si può riscrivere questa equazione come: {$e^{i \mbox{\it\bf R}\cdot(\mbox{\it\bf k}^\prime - \mbox{\it\bf k})} =1$}, che è la condizione di appartenenza di {$\mbox{\it\bf k}^\prime-\mbox{\it\bf k}$} al reticolo reciproco:

{$ (16) \qquad\qquad \mbox{\it\bf k}^\prime - \mbox{\it\bf k} = \mbox{\it\bf G} $}

In conclusione si ha una interferenza costruttiva ogni qual volta la differenza tra i due vettori d'onda (di ugual modulo {$\frac {2\pi}\lambda$}) è pari ad un vettore del reticolo reciproco. Si riconosce facilmente che le condizioni 16 e 14 sono equivalenti. Infatti in base all'equazione 12 ad ogni vettore {$\mbox{\it\bf G}$} corrisponde una famiglia di piani riflettenti di distanza interplanare {$d=\frac {2\pi}{|\mbox{\it\bf G}|}$}, e il triangolo isoscele di figura 19 mostra che la condizione di Laue 16 si può scrivere nei termini di {$\mbox{\it\bf G}$} come

{$ (17) \qquad\qquad k \sin \theta = \frac {|\mbox{\it\bf G}|} 2 = \frac {2\pi} {2d} ;$}

da questa relazione scende immediatamente l'equazione 14 ({$n=1$} equivale a considerare il vettore {$\mbox{\it\bf G}$} più corto tra quelli perpendicolari ai piani dati).


Fig. 18 I raggi 1 e 2 rappresentano l'onda diffusa rispettivamente dall'atomo nell'origine e da quello traslato di {$\mbox{\it\bf R}.$} La differenza di cammino è data dalla proiezione di {$\mbox{\it\bf R}$} lungo {$\mbox{\it\bf k}$}, {$\frac {\mbox{\it\bf R}\cdot\mbox{\it\bf R}} k$}, che allunga 2, meno l'analoga proiezione lungo {$\mbox{\it\bf k}^\prime$}, {$\frac {\mbox{\it\bf R}\cdot\mbox{\it\bf k}^\prime} k$}, che allunga 1.		Fig. 19 La condizione d'interferenza costruttiva della figura a fianco, espressa dalla equazione 16. Il vettore {$\mbox{\it\bf G}$} appartiene al reticolo reciproco, ossia ne unisce due nodi. Il bordo della prima zona di Brillouin, tratteggiato, biseca {$\mbox{\it\bf G}$}. A sinistra è mostrato il cristallo e le direzioni del fascio incidente e diffratto.

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