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IndiciDiMiller

< Piani reticolari e famiglie di piani | Indice | Distanza tra piani >

Consideriamo una famiglia di piani, di indici di Miller {$\{h_i\}$}. La connessione tra questi indici ed il reticolo reciproco si può facilmente intuire, dato che essi sono proporzionali ad inversi di coordinate dirette; ora la mostreremo esplicitamente.

Consideriamo il vettore del reticolo reciproco:

{$ (10) \qquad\qquad \mbox{\it\bf G}=\sum_i h_i \mbox{\it\bf g}_i ,$}

di componenti pari agli indici di Miller della famiglia di piani scelta.

Dimostriamo ora che il vettore {$\mbox{\it\bf G}$} è perpendicolare ai piani identificati da questi indici, {$(h_1,h_2,h_3)$}. A ciò fare basta mostrare che {$\mbox{\it\bf G}$} è ortogonale a due vettori, linearmente indipendenti tra di loro, che giacciono nel piano di mezzo della figura 14, come ad esempio due vettori della forma {$\alpha_i\mbox{\it\bf a}_i - \alpha_j \mbox{\it\bf a}_j=\frac {\mbox{\it\bf a}_i} {h_i}-\frac{\mbox{\it\bf a}_j}{h_j}$}. Sfruttando l'ortogonalità tra vettori primitivi dei reticoli diretto e reciproco (equazione 9), la condizione di ortogonalità tra {$\mbox{\it\bf G}$} ed il piano è subito verificata

{$ (11)\qquad\qquad \mbox{\it\bf G}\cdot\left (\frac {\mbox{\it\bf a}_i}{h_i} - \frac {\mbox{\it\bf a}_j}{h_j}\right) = \sum_k\left(\frac {h_k} {h_i} \,\mbox{\it\bf g}_k \cdot \mbox{\it\bf a}_i \, - \,\frac {h_k} {h_j}\, \mbox{\it\bf g}_k \cdot \mbox{\it\bf a}_j \right) = 0 .$}

è evidente allora che per ogni vettore del reticolo reciproco, {$\mbox{\it\bf G}=\sum_i h_i\mbox{\it\bf g}_i$}, c'è una famiglia di piani perpendicolari ad esso, le cui intercette {$\{\alpha_i\}$} con gli assi coordinati stanno nel rapporto {$\alpha_1:\alpha_2:\alpha_3=\frac 1 {h_1}: \frac 1 {h_2}: \frac 1 {h_3}$}.

Per identificare piani e vettori {$\mbox{\it\bf G}$} si utilizzano in realtà simboli compatti leggermente diversi tra loro. Ad esempio:

• in un reticolo cubico {$(100)$} sta per la faccia {$yz$} del cubo, {$(010)$} per la faccia {$xz$} e {$(001)$} per la faccia {$xy$};
• invece {$\{100\}$} sta per le tre famiglie di medesima simmetria {$(100)$}, {$(010)$} e {$(001)$}.
• Con {$\[100\]$} si indica viceversa il vettore del reticolo reciproco; in questo caso hanno significato anche indici negativi e, per compattezza grafica, {$-l$} si scrive {$\bar l$} e, ad esempio, {$(\bar 1 0 0)$} è la direzione {$-\hat x$} del cubo.
• Infine {$(\frac 1 2 00)$} identifica il singolo piano parallelo a {$(100)$}, ma a distanza doppia dall'origine.

Il reticolo reciproco è appunto un reticolo, ed in ogni direzione esistono infiniti nodi reticolari. Che significato ha, in relazione ai piani del reticolo diretto il vettore {$\[200\]$}? Ed il vettore {$\[h00\]$}? Essi devono rappresentare piani paralleli a {$(100)$}, ma a distanza rispettivamente {$\frac 1 2$} ed {$\frac 1 h$} di quella tra piani reticolari adiacenti: se la struttura corrisponde ad un semplice reticolo di Bravais questi piani non conterranno atomi.

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