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ElettroniNeiCristalli

< Fattori di forma e di struttura | Indice | Teorema di Bloch >

Abbiamo riconosciuto il reticolo periodico come scheletro ideale dei cristalli; occorre rivestirlo ora dei suoi componenti materiali. Questi componenti - elettroni e nuclei, caratterizzati dal loro valore della carica, del momento magnetico e della massa - hanno una dinamica all'interno del cristallo: i primi si muovono in un potenziale cristallino statico, mentre i secondi vibrano attorno a posizioni d'equilibrio. Le eccitazioni dinamiche sono soluzioni di equazioni del moto che obbediscono alla simmetria traslazionale scritta nell'equazione 4. Le soluzioni stesse, che sono i modi normali di un moto collettivo, rispettivamente gli stati elettronici e le onde di vibrazione reticolare, non possiedono più la simmetria traslazionale, ma ne risentono in modo nettissimo.

L'influenza della periodicità è racchiusa in un potentissimo teorema, che fu dimostrato da Felix Bloch e, contemporaneamente, da M.J.O. Strutt nel 1928; esso afferma in sostanza che tutte le eccitazioni di cui parliamo - le funzioni d'onda elettroniche e quelle che descrivono gli spostamenti degli ioni dai loro siti d'equilibrio, ma anche le onde di magnetizzazione nei materiali magnetici ordinati e le oscillazioni di plasma nei metalli - sono scomponibili in due fattori, di cui uno è un'ampiezza complessa che ha la stessa periodicità del reticolo, mentre l'altro, non periodico, è semplicemente un ulteriore fattore di fase {$e^{i\mbox{\it\bf k}\cdot\mbox{\it\bf r}}$}. La conseguenza è che per descrivere un elettrone o una vibrazione reticolare in un cristallo ideale basta conoscerne la descrizione all'interno di una cella (l'ampiezza complessa periodica) ed in più il valore di quel vettor d'onda {$\mbox{\it\bf k}$} caratteristico che ne pilota la fase nel piano complesso di cella in cella.

Il teorema di Bloch, dal punto di vista matematico, ha dei precedenti in aspetti della teoria delle equazioni differenziali lineari del second'ordine, affrontati nel 1868 da Mathieu e nel 1883 da Floquet. Come vedremo il teorema introduce una enorme semplificazione nella descrizione delle proprietà dei cristalli, anche se il punto di partenza del lavoro di Bloch in preparazione della sua tesi di dottorato era più modesto; ricordiamolo con le sue parole: Il problema principale era di spiegare come gli elettroni potessero sgattaiolare tra tutti gli ioni del metallo, evitando di avere un libero cammino medio dell'ordine delle distanze interatomiche.

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