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FattoriDiForma

< Diffrazione da polveri | Indice | Gli elettroni nei cristalli >

L'ampiezza dell'onda diffratta in {$\mbox{\it\bf r}$} è l'integrale dei contributi provenienti da tutti i punti {$\mbox{\it\bf r}$} del cristallo. Consideriamo dapprima i raggi X, per i quali questi contributi sono proporzionali alla densità degli elettroni diffusori, {$n(\mbox{\it\bf R})$}, e al fattore di fase {$\e^{i\mbox{\it\bf R}\cdot(\mbox{\it\bf k}^\prime-\mbox{\it\bf k})}$}, illustrato in figura 18, che tiene conto del particolare cammino ottico. Data la periodicità del cristallo, conviene esprimere {$\mbox{\it\bf r}$} come {$\mbox{\it\bf R}_i+\mbox{\it\bf r}_j+\rho$}, dove {$\mbox{\it\bf R}_i$} è il vettore del reticolo di Bravais (trasla di cella in cella), {$\mbox{\it\bf r}_j$} visita i diversi atomi della base e {$\rho$} esplora la densità elettronica. L'ampiezza allora si può scrivere:

{$ (18)\qquad\qquad {\cal A}=\sum_{i,j}\e^{i(\mbox{\it\bf R}_i+\mbox{\it\bf r}_j)\cdot(\mbox{\it\bf k}^\prime-\mbox{\it\bf k})} \,\, \int d\rho\,\, n_j(\rho)e^{i\rho\cdot(\mbox{\it\bf k}^\prime-\mbox{\it\bf k})} .$}

Consideriamo solo i picchi di Bragg, per i quali {$\mbox{\it\bf k}^\prime-\mbox{\it\bf k}=\mbox{\it\bf G}$}: il picco è dovuto alla somma di indice {$i$} sulle {$N$} celle del fattore {$exp{i\mbox{\it\bf R}_i\cdot\mbox{\it\bf G}}=1$}, quindi ha ampiezza proporzionale ad {$N$} (e larghezza in {$\mbox{\it\bf k}$}, da un conto classico?, proporzionale a {$\frac 1 N$}).

L'integrale su {$\rho$} viceversa definisce il fattore di forma atomico {$f_j(\mbox{\it\bf G}) = \int d\rho\,\, n_j(\rho)e^{i\rho\cdot\mbox{\it\bf G}}$}. Il suo significato è analogo a quello della larghezza della singola fenditura nei reticoli di Ronchi dell'ottica: esso modula l'ampiezza di diffrazione del reticolo, riducendola per vettori {$\mbox{\it\bf G}$} grandi in modulo rispetto all'inverso dell'estensione della nube elettronica. L'ampiezza totale risulta

{$ (19)\qquad\qquad{\cal A} = N \sum_j f_j(\mbox{\it\bf G}) \e^{i\mbox{\it\bf r}_j\cdot\mbox{\it\bf G}} $},

{$N$} volte l'ampiezza diffusa dalla singola cella, che corrisponde alla sommatoria su {$j$} e viene chiamata fattore di struttura. Il fattore di struttura rappresenta la differenza di fase che si accumula nella singola cella ed è di interpretazione particolarmente semplice nei cristalli monoatomici, dove si può isolare dal fattore di forma: ad esempio esso determina la scomparsa dei picchi nelle direzioni [100] dei cristalli cubici a corpo centrato, dove la radiazione è cancellata dall'interferenza distruttiva tra gli atomi ai vertici e quelli al centro della cella convenzionale.

Tornando al fattore di forma, per i raggi X esso coincide con la trasformata di Fourier spaziale della densità elettronica, che è distribuita su distanze confrontabili con il passo del reticolo. Quindi ci si può attendere che questo fattore influenzi apprezzabilmente l'ampiezza dei diversi picchi. Procedendo all'inverso si può ricavare una misura sperimentale dell'estensione media delle nuvole elettroniche antitrasformando la funzione {${\cal A}(\mbox{\it\bf G})$} (che però negli esperimenti è ricavata solo per un numero finito di punti, in corrispondenza dei vettori del reticolo reciproco che soddisfano la condizione di Bragg)

Una descrizione analoga vale per gli elettroni, se si sostituisce il potenziale medio alla densità {$n(\rho)$}, ed anche per i neutroni, se viceversa si interpreta {$n(\rho)$} come la densità nucleare. La differenza sostanziale in quest'ultimo caso sta nel fatto che l'interazione coi nuclei è a corto raggio: i neutroni vedono una fenditura di larghezza molto piccola rispetto a quella vista dai raggi X ed il loro fattore di forma risulta quindi essere una costante, indipendente da {$\mbox{\it\bf G}$} (almeno sulle scale degli Å^-1, i vettori d'onda utilizzati in diffrazione). Ciò può costituire un vantaggio nell'uso dei neutroni rispetto ai raggi X. A volte è necessario esplorare la zona dello spazio reciproco che corrisponde alle piccole distanze interplanari, ossia ai grandi valori di {$G$} (ad esempio per ottenere una buona risoluzione in strutture con lievi distorsioni di una data simmetria); mentre per i raggi X il fattore di forma riduce rapidamente l'intensità dei picchi di Bragg all'aumentare di {$|\mbox{\it\bf k}-\mbox{\it\bf k}^\prime|=G$}, i picchi neutronici, grazie al fattore di forma costante, restano unicamente determinati dal fattore di struttura e quindi ben visibili.

Queste considerazioni non sono più valide se si utilizza la diffusione magnetica dei neutroni sulle densità di spin elettroniche dei composti magnetici. In questo caso i fattori di forma tornano a dipendere apprezzabilmente dal vettor d'onda e quindi forniscono potenzialmente informazioni sulla localizzazione dei momenti magnetici ordinati nel cristallo, ma nel contempo limitano la regione di spazio reciproco esplorabile a bassi valori di {$G=|\mbox{\it\bf k}-\mbox{\it\bf k}^\prime|$} (ossia a piccoli angoli tra {$\mbox{\it\bf k}$} e {$\mbox{\it\bf k}^\prime$}).

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