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DensitaDegliStati

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Nel calcolo di {$\varepsilon_F$} abbiamo valutato l'integrale di un volume dello spazio {$\mbox{\it\bf k}$} delimitato da una superficie di energia costante. Si tratta di una sfera e l'integrale è noto. La geometria della superficie dipende però dalla forma analitica di {$\varepsilon_{\mbox{\it\bf k}}$}: è una sfera se la dipendenza da {$\mbox{\it\bf k}$} è isotropa (se {$\varepsilon$} dipende da {$k=|\mbox{\it\bf k}|$} come per gli elettroni liberi), ma bande con curvature diverse nelle differenti direzioni genereranno superfici più complicate. In genere il calcolo di {$\varepsilon_F$}, come quello di altri integrali nello spazio {$\mbox{\it\bf k}$}, si semplifica se si esegue un cambiamento di variabile, dalle tre componenti cartesiane di {$\mbox{\it\bf k}$} ad {$\varepsilon$}

{$ (36) \qquad\qquad \frac 1 {8\pi^3} \int d\mbox{\it\bf k} \rightarrow \int g(\varepsilon) d\varepsilon .$}

La quantità {$g(\varepsilon)$} è la densità degli stati? ed il suo significato risiede nel fatto che, mentre il numero di stati per unità di volume nello spazio {$\mbox{\it\bf k}$} è costante ed indipendente dalle interazioni a cui sottostanno gli elettroni, il numero di stati per intervallo unitario di energia, che è proprio {$\cal g$}, dipende dalla forma della banda {$\varepsilon_{\mbox{\it\bf k}}$}.

Per determinare quanti stati ci sono tra {$\varepsilon$} e {$\varepsilon+d\varepsilon$} basta moltiplicare il volume della crosta compresa tra le due superfici per la densità uniforme di punti in {$\mbox{\it\bf k}$}, {$\frac 2 {8\pi^3}$}, (il fattore 2 a numeratore tien conto dei due stati di spin per ogni valore di {$\mbox{\it\bf k}$}).

Il numero totale di stati {${\cal N}$} si può quindi esprimere facendo riferimento alla figura 28, dalla quale si vede che {$d\varepsilon=\nabla_{\mbox{\it\bf k}}\varepsilon_{\mbox{\it\bf k}}\cdot d\mbox{\it\bf k} = |\nabla_{\mbox{\it\bf k}}\varepsilon_{\mbox{\it\bf k}}|dk_{\perp}$} {$ \qquad \qquad \begin{eqnarray}{\cal N} & \equiv & \int g(\varepsilon) d\varepsilon = \frac 1 {4\pi^3} \int \int dS(\varepsilon) dk_{\perp} \\ & = & \int \left({1\over {4\pi^3}} \int \frac {dS(\varepsilon)}{|\nabla_{\mbox{\it\bf k}}\varepsilon|}\right)\,\,d\varepsilon, \end{eqnarray} $} dove {$dS(\varepsilon)$} è l'elemento di superficie a energia costante {$\varepsilon$}. Ciò equivale a scrivere {$ (37) \qquad\qquad g(\varepsilon)= \frac 1 {4\pi^3} \int \frac {dS(\varepsilon)} {|\nabla_{\mbox{\it\bf k}}\varepsilon|}. $} Calcoliamo la densità degli stati dell'elettrone libero, che abbiamo implicitamente usato nel paragrafo precedente:

Fig. 28 Volumetto infinitesimo nella crosta tra le due superfici a energia costante {$\varepsilon$} ed {$\varepsilon+d\varepsilon$}, nello spazio {$\mbox{\it\bf k}$}. è dato dal prodotto della superficie {$dS(\varepsilon)$} per lo spessore {$dk_{\perp}$}, che è l'incremento di {$\mbox{\it\bf k}$} nella direzione del gradiente di {$\varepsilon$}, indicata dalla freccia.

l'elemento di superficie a energia costante è {$k^2d\Omega$} e il modulo del gradiente di {$\varepsilon$} vale {$\frac {\hbar^2k} m$}, quindi {$ (38) \qquad\qquad g(\varepsilon)= \frac 1 {\pi^2} \frac {m k} {\hbar^2 } = \frac 3 2 \frac n {\varepsilon_F}\,\left(\frac{\varepsilon} {\varepsilon_F} \right)^{1/2} ,$}

dove, nell'ultimo passaggio, si è utilizzata l'equazione 35. La densità degli stati dell'elettrone libero è mostrata in figura 29 a, assieme alla densità degli stati occupati - il prodotto di {$g(\varepsilon)$} per la distribuzione di Fermi-Dirac, {$f(\varepsilon)$}.

Fig. 29 Densità degli stati dell'elettrone libero: a) La densità degli stati occupati è data dal prodotto della {$g(\varepsilon)$} di equazione 38 per la distribuzione di Fermi - a tratteggio largo - mentre la curva a tratto interrotto fine mostra come in molti casi la densità degli stati si discosti da quella dell'elettrone libero; b) Intensità in funzione dell'energia dei raggi X emessi da alluminio bombardato con elettroni di alcuni eV.

In fig. 29 b si vede il risultato di un esperimento che misura essenzialmente questa quantità. L'esperimento consiste nel bombardare un metallo con elettroni di energia tale da liberare elettroni dalle shell interne {$2p$}. Un elettrone di conduzione viene catturato da ciascun livello vuoto e l'energia in eccesso viene emessa per mezzo di un fotone X. L'intensità dei fotoni in funzione di {$\hbar\nu$} riflette a grandi linee^[1] la densità di stati di conduzione occupati: per l'alluminio i risultati seguono molto bene l'andamento {$\sqrt{\varepsilon}$} dell'elettrone libero

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