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StrutturaIperfine< Struttura fine, correzioni relativistiche, spin-orbita, Darwin, Lamb shift | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Atomi alcalini e difetto quantico > Un'ulteriore risoluzione della degenerazione dei livelli deriva dall'interazione magnetica di origine nucleare. La separazione delle righe spettrali dovuta a questa interazione è più piccola della struttura fine, e viene chiamata perciò iperfine. Sappiamo che lo spin nucleare {$I$} corrisponde ad un momento magnetico del nucleo {$\boldsymbol\mu_n$}, di modulo {$g_I\mu_N$}, il quale a sua volta produce un campo magnetico {$\mathbf B_d$} su ciascun elettrone, contribuendo con un termine Zeeman {$g\mu_B \mathbf s \cdot\mathbf B_d$} alla sua hamiltoniana. Il campo {$\mathbf B_d$} è il campo dipolare classico studiato nel corso di Fisica 2 {$$\mathbf B_d(\mathbf r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \frac{3 (\boldsymbol\mu_n\cdot\hat r)\,\hat r -\boldsymbol\mu_n}{r^3}$$} che un dipolo puntiforme nell'origine determina su di un altro dipolo puntiforme in {$\mathbf r =r \hat r$}. Si trascura così la possibilità che sia {$r=0$}, ma per un elettrone descritto da una funzione d'onda {$\psi(r)$} la probabilità di stare nell'origine è {$|\psi(0)|^2$}. Sappiamo inoltre che la probabilità non è nulla per gli orbitali di tipo s. Quanto vale allora il campo magnetico dipolare? La questione si risolve sostituendo al valore singolare di il limite per {$r\rightarrow0$} dell'integrale del modulo del campo su una sfera di raggio {$r$}. Il risultato è {$\mathbf B_d(0) = 2\mu_0 \boldsymbol\mu_N |\psi(0)|^2/3$}. Di conseguenza, oltre al termine dipolare classico, molto piccolo a causa del piccolo momento magnetico nucleare e delle distanze atomiche relativamente grandi, vi è un termine {$${\cal A} \mathbf I\cdot\mathbf s = \frac {2\mu_0}3 g\mu_B g_I\mu_N |\psi(0)|^2 \mathbf I\cdot\mathbf s$$} dove {$\cal A$} è il cosiddetto accoppiamento iperfine di contatto di Fermi, diverso da zero solo per autofunzioni spaziali s dell'elettrone ({$\psi_{n,l}(0)=0$} per {$l>0$}). L'interazione iperfine dipende esplicitamente dallo spin e il suo effetto cambia in presenza di un campo magnetico esterno {$\mathbf B$}. Infatti {$\mathbf I\cdot\mathbf s$} è invariante per rotazione e per {$B=0$} si conserva il momento angolare totate {$\mathbf J = \mathbf I + \mathbf s$} (ricordando che {$l=0$}). Quindi i livelli sono autovalori di {$J^2, J_z$}. {$B>0$} rompe la simmetria di rotazione e quando {$\mathbf B$} rende l'interazione Zeeman dominante rispetto all'iperfina {$s_z$} diventa un buon numero quantico. In queste condizioni l'interazione iperfine si approssima con {${\cal A} I_z s_z$} che commuta con l'hamiltoniana Zeenman e i livelli energetici dipendono linearmente da {$B$}. Quanto detto sopra si vede esplicitamente nel caso dell'idrogeno nello stato 1s (o del muonio, formato da un elettrone e {$\mu^+$} al posto di {$p^+$}). In entrambi i casi {$I=\frac 1 2$} e l'interazione iperfina si può scrivere esplicitamente con le matrici di Pauli nello spazio tensore (quello appropriato per trattare {$\mathbf I + \mathbf s$}). Si veda l'esercizio 8.4. < Struttura fine, correzioni relativistiche, spin-orbita, Darwin, Lamb shift | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Atomi alcalini e difetto quantico > |