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StrutturaFineIdrogeno< Lo spin, esperimenti di Zeeman e Stern-Gerlach | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Struttura iperfine, atomo di muonio > I livelli energetici dell'equazione di Schrödinger dell'idrogeno dipensono solo dal numero quantico principale n e sono degeneri, {$E_n=-mc^2\alpha^2/2n^2$}. Le correzioni relativistiche sono di ordine {$\alpha^2E_n$} e sono distinte in quattro termini, cinetico, spin-orbita, Darwin e Lamb, elencati in ordine di energia decrescente. La stessa trattazione vale per l'atomo idrogenoide, per il quale {$E_n(Z)=Z^2 E_n$} e le correzioni relativistiche sono di ordine {$\alpha^2Z^2 E_n(Z)$}. La rilevanza di ciascun termine è di natura differente. Ad esempio il Lamb shift, frutto delle fluttuazioni di vuoto che scaturiscono dalla rinormalizzazione della QED, ossia dalla teoria quantistica più completa, ha, per l'appunto, limitato valore applicativo, ma la sua conferma sperimentale da parte di Retherford nel caso dell'idrogeno servì come verifica della teoria fondamentale. Inoltre concettualmente tutte queste correzioni valgono per l'intera tavola periodica, ma producono effetti molto più piccoli della interazione tra elettroni, che non si sa trattare con altrettanta accuratezza. Perciò ci si limita qui al caso dell'idrogeno. Viceversa l'accoppiamento di maggior rilevanza concettuale per la fisica atomica è lo spin-orbita, che risolve la degenerazione accidentale dei livelli (importante anche per gli atomi a molti elettroni) e determina la molteplicità dei multipletti, ossia dei gruppi di livelli adiacenti nella spettroscopia. Per questo motivo lo trattiamo per ultimo, prima di rassumere l'argomento con una espressione dei livelli ed un loro uno schema complessivi. Secondo ordine, termine cinetico Il termine dominante nello sviluppo dell'energia cinetica relativistica classica in {$\beta= v/c$}, nel regime {$v\ll c$}, è {${p^2}/{2m}$}, il termine cinetico dell'equazione di Schrödinger. Il termine successivo è {$-{p^4}/{8m^3c^2}$}. Questo termine può essere valutato, a sua volta al primo ordine in teoria delle perturbazioni, sullo stato fondamentale 1s dell'idrogeno. Esso produce una correzione dell'ordine di {$ (20 \alpha^2)\cdot\frac {mc^2} 2 \alpha^2$}, un millesimo di Rydberg, ed aumenta l'energia di legame. Per gli stati eccitati in questa approssimazione il termine risulta dipendere anche dal numero quantico principale e dal momento angolare orbitale {$$\Delta E_k = - \frac {E_n^2} {2 mc^2}\left( \frac {4n}{l+\frac 1 2}-3 \right) = - \frac{\alpha^4} {4 n^4} \frac{mc^2} 2 \left( \frac {4n}{l+\frac 1 2}-3 \right) $$} Il termine è calcolato rigorosamente a partire dall'equazione di Dirac e qui ne daremo solo una descrizione fenomenologica. Le funzione d'onda ns sono le uniche con probabilità non nulla di trovare l'elettrone sul nucleo. Ad esempio la funzione d'onda 1s cresce come {$e^{-r/a_B} \approx 1-r/a_B$} per {$r\rightarrow 0$}. Il principio di indeterminazione riduce però la probabilità di provare l'elettrone esattamente nell'origine (data una certa indterminazione sul momento radiale {$\Delta p_r$}, la probabilità deve essere costante all'interno di un raggio {$\Delta r \approx \hbar/p_r$}). L'energia di legame è di conseguenza leggerissimamente inferiore. Il termine negativo che ne risulta, calcolato da Darwin, riguarda quindi esclusivamente gli stati s. Il termine di Darwin risulta compensare la differenza tra 2s e 2p introdotta dal termine cinetico e dallo spin-orbita. {$$\Delta E_D = \frac {2n E_n^2} {mc^2} \delta_{l 0} = \frac{\alpha^4} {2 n^3}\frac{mc^2} 2 \delta_{l 0}$$} Questo nome designa un moto intrinseco (tremolio, in tedesco) che l'elettrone acquista come interferenza tra le componenti grande e piccola dello spinore di Dirac. La si identifica scrivendo l'equazione che corrisponde al moto classico dell'elettrone. Si può mettere in relazione con il termine di Darwin, descritto sopra, che può essere visto come la media sul moto di Zitterbewegung. Questo termine non è presente nella trattazione di Dirac, in quanto origina dalle correzioni dovute all'interazione tra elettrone e fluttuazioni di vuoto quantistico, descritte correttamente dalla QED perturbativa. Ad esempio esso ripristina una piccolissima differenza tra livelli 2s e 2p. Anche per questo termine la trattazione più completa deriva dall'equazione di Dirac, includendo la sostituzione minimale che permette di descrivere l'effetto dei campi elettromagnetici prodotti dal moto relativo di elettrone e nucleo. Qui ci limitiamo a derivare l'accoppiamento tra spin e orbita in modo fenomenologico, considerando subito il caso dell'atomo idrogenoide per mettere in evidenza anche la dipendenza da {$Z$}. Nel sistema di riferimento in cui l'elettrone è istantaneamente a riposo ed il protone gli orbita attorno, quest'ultimo dà luogo ad corrente di carica positiva (come è noto non si tratta di un sistema inerziale, e ciò porterà ad un fattore di correzione, la precessione di Thomas, che coincide in pratica con la sostituzione {$gs\rightarrow (g_s-1)\approx 1$} nel risultato classico che ora ricaviamo). Il campo magnetico dovuto all'orbita apparente del protone con questa correzione vale {$$ \mathbf{B}=\frac {\mu_0 I} {2r}\hat z = \frac {\mu_0 Ze \omega} {4\pi r} \hat z = \frac {k_e Ze \mathbf{L} }{2mc^2 r^3}$$} al centro dell'orbita di raggio {$r$} ed asse {$\hat z$}. Nei passaggi si è cosiderato l'elettrone orbitante come dotato di momento d'inerzia {${\cal I}=mr^2$} e momento angolare orbitale {$L={\cal I}\omega$}, e si è sfruttata inoltre l'uguaglianza {$c^2=4\pi k_e/\mu_0$}. L'interazione del momento magnetico di spin {$\boldsymbol{\mu}=-ge\mathbf{S}/2m$} con questo campo magnetico è {$${\cal H}_{LS}=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}= \frac {g_s Ze^2 k_e}{2m^2c^2 r^3} \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}$$} Una nota sul segno dell'interazione: il segno negativo dell'energia {$-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}$}, che favorisce l'allineamento del momento al campo, è compensato dal segno meno nel rapporto giromagnetico dell'elettrone, dovuto alla sua carica negativa (l'elettrone che ruota in senso orario corrisponde ad una corrente elettrica in senso antiorario). Tenendo conto della correzione di Thomas, {$gs\rightarrow (g_s-1)\approx 1$}, riscrivendo la costante trovata nei termini della costante di struttura fine e introducendo {$\mathbf L = \hbar \mathbf l$}, {$\mathbf S = \hbar \mathbf s$} si ottiene {$$ {\cal H}_{LS}= \frac {Z\alpha\hbar^3}{2m^2c r^3} \mathbf{l}\cdot\mathbf{s}$$} L'espressione precedente va calcolata sulle funzioni d'onda dell'atomo idrogenoide, che corrispondono al singoletto s ed ai doppietti p, 'dd'', etc. Se esplicitiamo la loro dipendenza dai numeri quantici con la notazione {$|n\,j,l\,s\rangle$} si ottiene {$$ \langle n\,j\,l\, s| {\cal H}_{LS} |n\,j\,l\, s\rangle = \frac {Z\alpha\hbar^3}{2m^2c} \langle n\,j\,l \, s| \frac{\mathbf{l}\cdot\mathbf{s}} {r^3} |n\,j\,l \, s\rangle = \frac {Z\hbar^3\alpha}{2m^2c} \langle j\,l \, s|\mathbf{l}\cdot\mathbf{s}|j\, l\, s\rangle\,\int d^3r \frac {|\psi_{n,l}|^2}{r^3}$$} Il valor medio di {$r^{-3}$}, l'ultimo fattore nell'equazione precedente, si calcola con le funzioni d'onda idrogenoidi e vale {$\left(\frac{Z}{na_B}\right)^3 \frac 2 {l(2l+1)(l+1)}$}. In questo termine si può sostituire {$Z/a_B$} con {$Z\alpha m c/\hbar$}. Inoltre il penultimo fattore, l'elemento di matrice di {$\mathbf{l}\cdot\mathbf{s}$}, è già stato calcolato quando abbiamo introdotto il fattore di Landé e vale {$[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]/2$}, quindi {$$ \langle n\,l\,s| {\cal H}_{LS} |n\,l\,s\rangle = Z^4\alpha^4\frac { mc^2} {2} \frac 1 {n^3} \frac {(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)} {l(2l+1)(l+1)} $$} L'energia di spin-orbita cresce molto all'aumentare di {$Z$}, diminuisce rapidamente con il numero quantico principale e, nei doppietti, è massima per il valore minimo del momento angolare totale. L'espressione è indeterminata per {$l=0$}, ma sappiamo che l'interazione spin-orbita si annulla per gl stati s. Estensione per atomi con più elettroni In questo caso il campo elettrico non può essere ascritto al solo nucleo. L'espressione più generale, valida in presenza di più elettroni che schermano il nucleo, si ottiene, in approssimazione di campo centrale, trasformando il campo elettrico su ciascun elettrone nel campo magnetico che si osserva sul medesimo elettrone nel sistema di riferimento a velocità {$\mathbf{v}$} in cui il nucleo è istantaneamente fermo. Possiamo scrivere il campo elettrico nei termini dell'energia potenziale elettrostatica {$ U(r)=e\Phi(r)$}, {$\mathbf {E}(r)=-\boldsymbol{\nabla}\Phi(r)=-\frac{\mathbf r}{er} \frac {dU}{dr}$}. Il campo magnetico nel sistema di riferimento dell'elettrone a riposo (non inerziale!) è dato da {$$\mathbf{B}=-\mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2$$}. In questo modo, ricordando che {$ -\mathbf{v}\times\hat{r}=\mathbf{L}/mr$}, e ricordando la correzione di Thomas si ottiene {$${\cal H}_{LS}= \frac {(g_s-1) Z\hbar \alpha}{2m^2c r} \frac {dU(r)}{dr}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}$$} Se sostituiamo per gli idrogenoidi {$dU/dr=- k_e Z e^2/r^2 = -\hbar c\alpha Z/r^2$} ritroviamo l'espressione precedente.
Confronto tra spin-orbita e doppietti sperimentali Il confronto numerico si può fare sia con carta e penna, sia con sympy.physics. Il confronto qualitativo è il seguente: l'interazione spin orbita corrisponde all'accoppiamento tra momento magnetico dell'elettrone e campo magnetico dovuto all'orbita. Abbiamo visto che l'accoppiamento è positivo, perchè vale {$-\boldsymbol\mu_e\cdot \mathbf B(\mathbf L)$} con {$\mu_e = - \frac {g_e e\hbar}{2m_e}$} e quindi il segno dell'interazione e quello della carica si compensano. Di conseguenza avrà energia maggiore lo stato con momento magnetico {$\mu_j = g_j \mu_B$}, ossia fattore di Landé {$g_j$} maggiore. In pratica lo stato più profondo, che ha energia di legame massima, è lo stato con minimo {$j$}. Occorre istallare sympy in python. Sympy calcola le grandezze in atomic units, ossia le energie in Hartree. Si possono ottenere i livelli energetici dei termini spettrali utilizzando le costanti di scipy
Si possono ottenere i livelli energetici esatti dell'Hamiltoniana di Dirac con sympy.physics. Ad esempio la separazione fine per lo ione He+, tra 2p3/2 (spin up, True) e 2p1/2 (spin down, i.e. spin up, False) si ottiene in unità di Ha nel seguente modo
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