• View
• Edit
• History
• Print

Esercizi

< Regole di selezione ottiche? | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Bibliografia >

Vengono suggerite 11 esercitazioni per casa con cadenza quasi settimanale. Media calcolata sulle 10 esercitazioni migliori.

Se per una settimana sono elencati più di quattro esercizi, il massimo punteggio si ottiene sui migliori quattro. Griglia di valutazione: 4 giusti = 30, solo 3 giusti = 26, solo 2 giusti = 22, solo 1 giusto = 18, nessuno giusto/non consegnato = 14 (ad ogni esercizio svolto sono assegnati tra 0 e 4 punti, in base al grado di correttezza della soluzione proposta). Il punteggio si ottiene consegnando ciascun compito entro la data stabilita. Si suggerisce comunque di eseguire tutti gli esercizi prima della corrispondente prova scritta in aula (v. sotto).

I compiti vanno consegnati in formato pdf, (da LaTeX, OpenOffice, LibreOffice, Office, oppure da scansione di testo scritto). Si raccomanda ordine, chiarezza nelle formule. Se si utilizza il cellulare non utilizzare la fotocamera a colori o in toni di grigio, ma una app di scansione, che produca file compatti solo in bianco/nero. Utilizzare il seguente filename: Cognome-SettimanaX.pdf. Per favore indicare il numero dell'esercitazione nell'Oggetto del mail.

Se l'esercizio richiede di fare un grafico per favore includere lo script matlab o python che l'ha generato (in file separato eseguibile)

Nuclei

• Prima settimana (5 esercizi)

1. La carica nucleare è multiplo di {$e=1.6\cdot 10^{-19}~\mbox{C}$} secondo {$Z$}, la massa è molto grossolanamente multiplo dell'unità di massa atomica {$u$} secondo {$A\gtrapprox 2Z$}. La prima ipotesi formulata per spiegare questo fatto prevedeva che il nucleo fosse composto da {$A$} protoni e {$A-Z$} elettroni. Calcolare l'energia minima {$E_m$} di un elettrone confinato nel nucleo, approssimandolo come buca di potenziale rettangolare, di larghezza {$2r=10~\mbox{fm}$} e profondità {$V$}, pari all'attrazione elettrostatica media esercitata sull'elettrone da {$A=100$} protoni di un nucleo di quelle dimensioni (la distanza media è {$r$}). Discutere cosa accade ai successivi {$A-Z-1$} elettroni.
2. Valutare lo spin totale {$S_p$} di {$A=$} protoni ed {$S_e$} di {$A-Z$} elettroni per un nucleo con {$A$} pari e {$Z$} dispari (dispari-dispari). Confrontarlo con lo spin totale {$I$} (ossia il momento angolare totale) del nucleo {$A,Z$}. L'ipotesi del nucleo formato da protoni ed elettroni è compatibile con lo spin nucleare? Suggerimento: non occorre calcolare il numero esatto ma basta valutare il risultato in termini di spin interi e semiinteri.
3. Bombardando {$^{14}_{7}N$} con {$^{4}_{2}He$} di energia cinetica {$^{4}K=7.7~\mbox{MeV}$} Rutherford ottenne protoni {${^1}_{1}H$} e {$^{17}_{8}O$}. Calcolare l'energia cinetica {$^{1}K$} dei protoni che emergono a {$\pi/2$} dal fascio di {$^{4}_{2}He$} e l'energia cinetica {$^{17}K$} dell'ossigeno. Calcolare anche l'energia di legame di {$^{4}_{2}He$}, {$^{14}_{7}N$} e {$^{17}_{8}O$}. Suggerimento: cercare su internet la massa delle quattro specie e calcolare preliminarmente l'eccesso di massa-energia {$Q= c^2(^{14}m + ^{4}m - ^{17}m - ^{1}m)$}
4. Discutere che la reazione {$\gamma + ^{14}\mbox{N} \rightarrow ^{13}\mbox{C} + p$} è impossibile con {$\gamma$} da qualche MeV e protoni da {$K=5.3$} MeV
5. Calcolare l'energia repulsiva tra protoni nel nucleo di {$^{14}_7\mbox{N}$}. Fare un grafico dell'andamento di questa energia in funzione di A (ad es.{$1\le A \le 200$}) supponendo che {$Z=\frac A 2 \frac a {bA^{2/3}+a}$}, con a=0.102 e b=0.00076.

• Seconda settimana (4 esercizi)

1. Produrre una figura in scala logaritmica che mostri le lunghezze d'onda di elettroni, protoni e {$\alpha$}, in Fermi, dal regime non relativistico a quello relativistico.
2. Stimare il rapporto tra la densità di carica (o di massa) della materia usuale (un atomo) e della materia nucleare, usando i concetti del modello a goccia (ossia i dati di Hofstadter)
3. Calcolare i valori più stabili di Z in funzione di A, in base all'energia di legame stimata dal modello a goccia. Rappresentarli in un grafico.
4. Ricavare energia e momento dell'elettrone nel decadimento β del neutrone a riposo, considerando il caso in cui i momenti lineari dei prodotti sono tutti e tre collineari e l'energia dell'elettrone è massima. Suggerimento: fare le necessarie approssimazioni.

• Terza settimana (5 esercizi)

1. Ricavare la dipendenza da {$n=N/V$} di {$k_F, E_F$} e della funzione {$\rho(E)$}, densità degli stati, per il gas nucleare di Fermi, nucleo di numero di massa A. Calcolare il valore di {$E_F$}, supponendo che il nucleo sia una buca di potenziale di raggio {$R=aA^{1/3}$}, con {$a=1.4~\mbox{fm}$}.
2. La vita media dello stato eccitato di {$^{57}\mbox{Fe}$} prodotto dall'assorbimento del γ da 14.4 keV emesso dalla sorgente di {$^{57}\mbox{Co}$} è {$\tau\approx 100 ns$}. Stimare la corrispondente larghezza della risonanza, {$\Delta E_0$}, Calcolare la velocità media {$\overline v$} di un'atomo di {$^{57}\mbox{Fe}$} in un gas a T ambiente. Stimarne la distribuzione in energia {$\Delta E$} e discutere confrontandola con la larghezza della risonanza. Rifare il confronto con {$^{57}m\rightarrow \infty$}, condizione che corrisponde ad un atomo solidale con il cristallo (riga a zero fononi).
3. Sommare i momenti angolari {$\mathbf L = \mathbf L_1 + \mathbf L_2$}, con {$l_1=2$} e {$l_2=3$}. Elencare i valori di {$l$} risultanti. Indicare la molteplicità degli stato risultanti.
4. Sommare i momenti angolari orbitali e di spin {$\mathbf J = \mathbf S + \mathbf L$}, con {$l=1$} e {$s=3/2$}. Elencare i valori di {$j$} risultanti. Indicare la molteplicità degli stati risultanti. Calcolare il fattore di Landé di ciascun momento angolare totale risultante.
5. Ottenere il fattore di Landè {$g_J$} seguendo lo schema tracciato a lezione.

• Quarta settimana (5 esercizi)

1. Calcolare la pressione di degenerazione elettronica. Suggerimento: in Termodinamica {$p=-\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}$}. Per un sistema di {$N$} fermioni in un volume {$V$} a bassa temperatura l'entropia non dipende dal volume (la distribuzione di Fermi-Dirac vale 1 per {$\epsilon\le \epsilon_F$} e zero altrimenti) e quindi {$p=-\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T,N}$}.
2. Valutare la pressione di degenerazione alla densità degli elettroni liberi del sodio (uno per atomo).
3. Valutare la pressione di degenerazione alla densità nucleare.
4. Usando la successione dei livelli del modello a shell calcolare le molteplicità e la parità di {$1p_{3/2}$} e {$2f_{5/2}$}. Calcolare {$\mathbf{J}\cdot\mathbf{S}/\hbar^2$}, {$\mathbf{J}\cdot\mathbf{L}/\hbar^2$} e {$\mathbf{S}\cdot\mathbf{L}/\hbar^2$} per ciascuno di questi termini.
5. Usando la stessa successione dei livelli, calcolare lo spin nucleare I dei seguenti nuclidi: da {$^{41}\mbox{Ca}$} a {$^{38}\mbox{Ca}$}, {$^{15}\mbox{N }$}, da {$^{12}\mbox{C}$}, {$^{17}\mbox{O}$}

• Quinta settimana (6 esercizi)

1. scrivere uno script octave/matlab pauli.m con commenti che esegua i compiti elencati sotto

utilizzando ad esempio questo template (octave) o questo (matlab)(controllare che funzioni da una sessione appena aperta, prima di spedirlo), che

1. definisce sigmax, sigmap (innalzatore), sigmam (abbassatore)
2. con le precedenti costruisce sigmax e sigmay
3. calcola i commutatori [sigmax,sigmay], [sigmay,sigmaz], [sigmaz,sigmax], [sigmap,sigmaz] e [sigmam,sigmaz]
4. calcola gli autovalori e gli autostati di sigmax, sigmay
5. calcola lo stato |phi(t)> = U(t) |+x> ai tempi {$\frac{\pi}{2\omega}, \frac{\pi}{\omega}, \frac{3\pi}{2\omega}, \frac{2\pi}{\omega}$} (N.B. in octave/matlab l'operatore esponenziale di una matrice si ottiene con il comando expm)

1. scrivere lo script analogo per l=1

• Sesta settimana (4 esercizi)

1. calcolare la trasformata di Fourier del potenziale Coulombiano, passando attraverso quella del potenziale schermato

{$$\frac 1 r = \lim_{\epsilon \to 0} \frac {e^{-\epsilon r}} r$$}

1. applicare {$i \hbar \partial_t$} ad entrambi i membri dell'equazione di Dirac e ricavare i prodotti delle matrici {$\boldsymbol\alpha$} e {$\beta$} che ne risultano.
2. Controllare che con le definizioni date nella equazione di Dirac questi prodotti diano zero o uno, riducendo l'equazione a quella di Klein-Gordon.
3. Mostrare che nel limite non relativistico la funzione d'inda per l'elettrone si può ridurre ad uno spinore.

Indice

• Settima settimana (3 esercizi, griglia 30/26/22/14)

1. Problema assegnati da Massimo Pietroni. Perché Hubble ha concluso che la velocità di espansione crescesse linearmente con la distanza, pur avendo dati non in grado di distinguere da altre leggi? Ad esempio cosa misurerebbe un osservatore su un'altra galassia assumendo che noi sulla nostra misuriamo:
   1. {$v = H d$};
   2. {$v= \mbox{cost}\, d^n \quad (n \neq 1)$}.
2. Calcolare la serie di Balmer dell'idrogeno, ossia le transizioni {$n^\prime\rightarrow n=2$} secondo la soluzione dell'equazione di Schrödinger. Confrontare con i seguenti dati sperimentali: {$\lambda_{3\rightarrow 2}=656.3$} nm, {$\lambda_{4\rightarrow 2}=486.1$} nm, {$\lambda_{5\rightarrow 2}=434.1$} nm, {$\lambda_{6\rightarrow 2}=410.2$} nm,

• Ottava settimana (4 esercizi)

1. calcolare la costante di struttura fine {$\alpha$} come due tra le seguenti espressioni
   1. radice del rapporto tra raggio classico dell'elettrone, {$r_e$} e raggio di Bohr {$a_B$}
   2. rapporto tra lunghezza d'onda Compton {$\lambda_0/2\pi$} dell'elettrone e raggio di Bohr {$a_B$}
   3. velocità classica dell'elettrone nella prima orbita di Bohr e velocità della luce, {$\alpha=\beta_{1}$}
2. calcolare le seguenti quantità per l'atomo idrogenoide di numero atomico {$Z$} nei termini della costante di struttura fine
   1. l'energia di legame {$-E_{1s}$} dello stato fondamentale
   2. la separazione tra i livelli {$2p_{\frac 1 2}$} e {$2p_{\frac 3 2}$}
3. calcolare la frequenza della transizione {$3s_{\frac 1 2}\rightarrow 2p_{\frac 3 2}$} e {$3s_{\frac 1 2}\rightarrow 2p_{\frac 1 2}$} dell'idrogeno e del deuterio, considerando l'interazione spin orbita (ma trascurando le altre correzioni relativistiche).
4. Considerare l'interazione iperfina dell'idrogeno {${\cal A} \mathbf I\cdot\mathbf s$} con{${\cal A} = \frac {2\mu_0} 3 \gamma_e\gamma_p \hbar^2 |\psi_{1s}(0)|^2 $} dove {$\mu_p = \gamma_p\hbar$} è il momento magnetico del protone con {$\gamma_p=2.68\,10^8$} rad (sT)^-1:
   1. calcolare la frequenza {$\nu_0$} di precessione del protone nel campo iperfine dovuto all'elettrone in campo magnetico esterno nullo
   2. scrivere con matlab/octave/python il prodotto scalare tra i due spin dell'interazione iperfine con le matrici di Pauli nello spazio {$\mathbf I_p \otimes \mathbf s_e$} (quello usato per discutere l'addizione di due momenti angolari nella lezione sulle matrici di Pauli). Diagonalizzare e discuterne autovalori ed autovettori.

• Nona settimana (4 esercizi)

1. Calcolare le energie dello stato fondamentale nelle seguenti approssimazioni successive: a elettroni non interagenti ({$E_0$}), includendo l'interazione Coulombiana tra elettroni al primo ordine perturbativo ({$E_1$}), con il metodo variazionale ({$E_S$}) per i seguenti atomi a due elettroni: {$\mbox{Li}^+$}, {$\mbox{H}^-$}, {$\mbox{Be}$} (solo per i due elettroni di valenza, assumendo il nucleo e gli elettroni 1 s come un oggetto di carica Z=2, ma rispettando l'aufbau)
2. Scrivere per lo stato eccitato 1s2p dell'He, nei termini degli stati spaziali e di spin di singolo elettrone {$|1s\rangle$}, {$|2p\rangle$} e {$|\uparrow\rangle $}, {$|\downarrow\rangle $}, lo stato di singoletto {$|{\cal S}\rangle $}, composto da un fattore spaziale simmetrico e un fattore di spin antisimmetrico, e i tre stati di tripletto {$|{\cal T} \pm 1,0\rangle $}, composti da un fattore spaziale antisimmetrico e un fattore di spin simmetrico.
3. Calcolare la matrice che rappresenta la repulsione Coulombiana come perturbazione dei quattro livelli degeneri trovato nell'esercizio precedente, nei termini gli integrali Coulombiano {$C_{\mbox{1s 2p}}$} e di scambio {$J_{\mbox{1s 2p}}$} (senza calcolare questi ultimi esplicitamente!)
4. Calcolare i termini spettrali dello stato fondamentale del Na e degli stati eccitati che si ottengono rispettivamente dalle configurazioni Ne 3s, Ne 3p, e Ne 4s. Ricavare il doppietto del sodio, corrispondete alla transizione 3p {$\rightarrow$} 3s e, in analogia, le transizioni corrispondenti alla transizione 4s {$\rightarrow$} 3p.

• Decima settimana (4 esercizi)

1. I termini spettrali della configurazione fondamentale del C ({$2p^2$}) sono {$^1S,^3P,^1D$}. Costruire gli stati del multipletto {$^1D$} nella rappresentazione {$\lbrace m_1,s_1,M_2,s_2\rbrace$}, partendo da quello con più alto valore di m, il numero quantico magnetico di J totale e applicando ripetutamente {$J^-$}.
2. Individuare con le regole di Hund il livello fondamentale delle seguenti configurazioni

{$$\begin{matrix} \mbox{Atomo} & \mbox{configurazione} & \mbox{termini}\\ \mbox{B, F} & p, p^5 & ^2P\\ \mbox{C, O} & p^2, p^4 & ^1S, ^3P,^1D\\ \mbox{N} & p^3& ^4S,^2P,^2D \end{matrix}$$}

3. Considerare le nove configurazioni elettroniche della sub-shell 3d e identificare i livelli fondamentali con le regole di Hund.
4. Dimostrare che singoletto e tripletto sono autostati di {$S^2$} rispettivamente per S = 1 e S = 0 (suggerimento: scrivere {$S^2$} nei termini di {$s_1^2, s_2^2, s_{1z}, s_{2z}, s_1^+, s_1^-, s_2^+, s_2^-$}, di cui si sa calcolare l'effetto sugli stati).

• Undecima settimana (4 esercizi) e altri compiti per le vacanze (facoltativi, il primo esercizio, completo, conta per tre)

1. Il mercurio, Hg, ha configurazione 6s² nel suo stato fondamentale. Le transizioni ottiche dallo stato fondamentale danno luogo alle righe ultra-violette caratteristiche della lampada a Hg. La radiazione visibile della lampada è dovuta ad altre transizioni che si eccitano nella scarica.
   1. Considerare lo stato eccitato 6s6p, enumerarne i termini spettrali e calcolare il loro fattore di Landé, g_J
   2. Elencare le transizioni permesse (dipolo elettrico) in assenza di campi statici tra questi due insiemi di livelli
   3. Elencare le transizioni di tripletto permesse tra questi livelli in presenza di un debole campo magnetico (Effetto Zeeman)
2. Calcolare quanti stati si possono generare con la configurazione dello stato fondamentale del Ti {$3d^2$} e quanti di questi danno luogo a stati totalmente antisimmetrici, distinti da quelli che darebbero stati totalmente simmetrici. Scrivere sotto forma di deteminante di Slater a due elettroni almeno uno dei primi (suggerimento: scrivere gli stati massimali, ossia a massimo {$m_l$} e massimo {$m_j$}).
3. Scrivere sotto forma di integrale il termine di Hartree e il termine di scambio delle equazioni di Hartree-Fock per i due elettroni della configurazione {$3d^2$}. Provare a stimarli seguendo la via utilizzata per l'elio.
4. Mostrare che, utilizzando l'equazione di Poisson, si può scrivere un'equazione differenziale autoconsistente per il potenziale {$V(r)$} del modello di Thomas-Fermi.

Indice

< Regole di selezione ottiche? | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Bibliografia >