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SimmetrieConservazioni< Esperimenti fondanti | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Le matrici di Pauli e le regole di commutazione dei momenti angolari quantistici. > Urti e forze impulsive Eventi nei raggi cosmici e nei fasci di particelle da acceleratori sono urti o decadimenti (esplosioni) durante i quali dominano forze impulsive per tempi caratteristici molto brevi. Si considera quindi solo la forza impulsiva dominante, trascurando le altre. Ad esempio quando il proiettile colpisce il piattello si trascura la forza di gravità e si conserva il momento lineare, perchè le forze interne, che durano per la durata dell'impatto, sono molto più intense (ma non cambiano la quantità di moto totale del sistema). Il problema dinamico si risolve brillantemente sfruttando le leggi di conservazione Simmetrie continue Le leggi di conservazione della fisica classica (momento lineare ed angolare) sono derivate dalle equazioni del moto in assenza di forze e momenti torcenti esterni in un sistema isolato. Si possono ricondurre a un principio molto generale, dimostrato dalla matematica Emmy Noether (Erlangen, 1915), ossia l'esistenza di una simmetria continua. Non entriamo nei dettagli formali e ci limitiamo ad esemplificare. L'esempio più semplice è la simmetria per traslazione, o invarianza traslazionale (il fatto che la dinamica è descritta dalle stesse leggi in ogni punto dello spazio - vuoto - e che le leggi orarie possono essere traslate rigidamente nello spazio, assieme alle loro cause, forze e momenti torcenti, mantenendo la loro validità). Da questa invarianza si desume la conservazione del momento lineare. Stessa relazione esiste tra invarianza rotazionale conservazione del momento angolare. Un esempio classico meno consueto è il fatto che la conservazione dell'energia deriva dall'invarianza per traslazione temporale. Un'altra peculiare simmetria continua (ossia possibile anche per spostamenti - lineari, angolari o temporali - infinitesimi) è la simmetria di gauge del campo elettromagnetico. Lo stesso campo si può derivare da un certo quadrivettore potenziale {$(\phi, \mathbf{ A})$} o da un qualunque altro {$(\phi+\partial_t \Lambda, {\mathbf A} + {\boldsymbol\nabla}\Lambda)$}, se {$\Lambda$} è una funzione di {${\mathbf r}, t$}, e con lo stesso tipo di ragionamento da questa invarianza scende la conservazione della carica elettrica. In ambito quantistico, supponendo hamiltoniane che non dipendono esplicitamente dal tempo (come tutte quelle che governano problemi fondamentali), la conservazione si riduce al fatto che l'osservabile relativa alla quantità conservata commuta con l'hamiltoniana, e ciò discende dalla invarianza dell'hamiltoniana rispetto alle trasformazioni di simmetria citate. Dalla mole dei dati sperimentali emergono nuove conservazioni, e quindi nuove simmetrie. Tutti gli eventi osservati in raggi cosmici o acceleratori, in cui una o più particelle interagiscono per dar luogo a più prodotti, rispettano una regola semplice: se si assegna un numero barionico pari ad 1 per ogni barione (protone, neutrone, Λ, Ψ, ...), a -1 per ogni anti-barione e a 0 per ogni mesone, antimesone, leptone o fotone, la somma dei numeri barionici è conservata. La simmetria corrispondente è una invarianza di gauge affine a quella elettromagnetica, a cui è difficile dare un significato intuitivo come alle traslazioni spaziali o temporali. Il numero barionico va inteso come una specie di carica e che, come si vedrà, conta i quark costituenti. Una seconda legge simile riguarda il numero leptonico, 1 per elettrone, muone, tau e ciascuno dei loro neutrini, -1 per ciascun corrispondente antileptone e 0 per adroni e fotoni. Anche qui il numero leptonico depiscende da una invarianza di gauge e si può pensare come carica. È facile controllare che le leggi di conservazione citate finora sono rispettata nei seguenti eventi significativi dominati dall'interazione nucleare forte {$p + p \rightarrow p+p+p+\overline{p}, \quad\mbox{produzione di coppia protone - antiprotone}$} {$\pi^+ + d \rightarrow n+ n$} ma anche nei seguenti fenomeni dominati da interazioni elettromagnetiche {$\pi^0 \rightarrow \gamma +\gamma,\quad\mbox{decadimento del pione neutro}$} {$e^- + e^+\rightarrow \gamma+\gamma,\quad\mbox{annichilazione di coppia}$} {$\gamma+\gamma\rightarrow e^-+e^+,\quad\mbox{produzione di coppia}$} e infine nei seguenti decadimenti deboli {$\pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_\mu, \quad\mbox{decadimento dei pioni carichi}$} {$\mu^-\rightarrow e^-+\overline{\nu}_e+\nu_\mu,\quad\mbox{decadimento dei muoni}$} Non si conoscono eccezioni a queste leggi. Simmetrie discrete e simmetrie suscettibili di violazione Si è già discussa la simmetria per inversione nel contesto dello scambio di particelle indistinguibili. L'inversione corrisponde allo scambio di due particelle se si sceglie l'origine a metà strada. Quindi occorre che le loro funzioni d'onda spaziali siano pari o dispari per far sì che la funzione d'onda totale sia simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni). Si riassumono qui alcune caratteristiche rilevanti di questa simmetria, che risulta importante nelle interazioni nucleari forti Ricordiamo come agisce sulle osservabili dinamiche. Chiamiamo {$\cal P$} l'operazione sulle coordinate (e {$\Pi$} l'operatore quantistico) {$ \begin{align} {\cal P} {\mathbf r} & = -{\mathbf r}\\ {\cal P} {\mathbf p} & = -{\mathbf p}\\{\cal P} {\mathbf l} & = {\mathbf l} \\ \end{align}$} La prima è la definizione di inversione. La seconda discende dalla definizione di velocità come derivata della posizione, che cambia segno con essa, la terza dalla definizione di momento angolare come prodotto di due quantità che cambiano segno per inversione. Questa proprietà si estende allo spin, momento angolare intrinseco delle particelle, che non cambia segno per inversione. La parità delle funzioni è pari (1) o dispari (-1). La funzione seno è dispari, ma la funzione seno quadrato è pari, dal che si desume che la parità è moltiplicativa. Ciò è vero per tutte le simmetrie discrete. Si mostra che l'operatore parità {$\Pi$} è unitario e hermitiano, ossia ha autovalori reali uguali a {$\pm 1$}. Le autofunzioni del momento angolare {$l$} hanno parità definita {$(-1)^l$}. Come per il momento angolare, esiste una parità intrinseca delle particelle. Si può stabilirne il valore relativo dagli esperimenti. Se le interazioni sono invarianti per inversione, ossia conservano la parità, il prodotto delle parità a membro sinistro deve essere uguale al prodotto a membro destro. Per convenzione si definiscono positive le parità di protone, neutrone. L'equazione di Dirac impone che siano negative le parità delle corrispondenti antiparticelle. Risultano ad esempio le seguenti parità intrinseche
Con questa definizione della parità essa risulta conservata nelle interazioni forti ed elettromagnetiche, ma, come vedremo, risulta non conservata (violata) in quelle deboli. Ad esempio i nuclei e gli atomi stabili, considerati come sistemi isolati governati dalle prime due interazioni, conservano la parità e quindi non possono avere momento di dipolo. Questo ragionamento presuppone che non ci sia una rottura spontanea della simmetria. < Esperimenti fondanti | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Le matrici di Pauli e le regole di commutazione dei momenti angolari quantistici. > |