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Pauli< Simmetrie e leggi di conservazione | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Il mare di Dirac, spin, particelle e antiparticelle > Matrici di Pauli e spin 1/2 Partiamo da {$$\sigma_z=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$$} Per ispezione si vede che ha autovalori 1 e -1 con autovettori ici di {$$ |\uparrow\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad |\downarrow\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$} Definiamo le due matrici ausiliarie {$$\sigma_+=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\quad \sigma_-=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix} $$} Ora costruiamo {$$\begin{align}\sigma_x &= \sigma_+ + \sigma_-\\ \sigma_x &= -i(\sigma_+ - \sigma_-)\end{align}$$} e controlliamo che le tre matrici di Pauli obbediscono alle regole di commutazione dei momenti angolari (entro un fattore 2) {$$\left[\sigma_x,\sigma_y\right]= 2i\sigma_z$$} e permutazioni cicliche ({$x\rightarrow y\rightarrow z\rightarrow x$}). Il controllo si può fare direttamente, ad esempio con carta e penna, oppure utilizzando matlab, o octave. Sono le stesse regole (senza il fattore 2) a cui obbediscono gli operatori differenziali, {$\,\,l_\alpha = \varepsilon_{\alpha, \beta, \gamma}\, x_\beta \, i\hbar \partial_\gamma\,\,$} dove {$\alpha,\beta, \gamma = x,y,z$}, il simbolo {$\varepsilon_{\alpha, \beta, \gamma} $} rappresenta il tensore antisimmetrico di Levi-Civita (o di Ricci), ed è sottintesa la convenzione della somma sugli indici ripetuti. È facile vedere che {$l_x$} rappresenta la componente x del momento angolare di una particella di le cui coordinate sono date dagli operatori {$(x,y,z)$} e componenti del momento lineare dagli operatori {$ i \hbar (\partial_x,\partial_y,\partial_z ) $}, con le regole della meccanica quantistica. Diagonalizzando {$\sigma_x$} e {$\sigma_y$} si vede che hanno anch'essi autovalori {$\pm 1$}, ossia sono unitari. Gli autovettori di {$\sigma_x$} ad esempio sono {$$|\uparrow_x\rangle = \frac 1 {\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad |\downarrow_x\rangle = \frac 1 {\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $$} che sono miscele degli autostati {$|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle $} di {$\sigma_z$}. I momenti angolari di spin s = 1/2 corrispondono a {$$s_\alpha = \frac 1 2 \sigma_\alpha, \quad \alpha = x,y,z$$} Estensione a l ≥1 Per {$s = \frac 1 2$} le matrici del momento angolare sono {$s_\alpha = \frac 1 2 \sigma_\alpha,\quad \alpha=x,y,z$}. Per {$l\ge 1$} si definisce automaticamente il momento angolare senza passare per la matrice di unitaria. La definizione della matrice {$l_z$} è semplice {$$ l_z = \begin{bmatrix} -l & 0 & \cdots & 0\\ 0 & -l+1 & \cdots & 0\\ & & \cdots & \\ 0 & 0 & \cdots & l \end{bmatrix}$$} Viceversa le matrici {$l_\pm$} che innalzano o abbassano la proiezione del momento angolare lungo {$z$}, sono date rispettivamente da {$$ l_+ = \begin{bmatrix} -0 & \sqrt{l(l+1)-l(l-1)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &\sqrt{l(l+1)-(l-1)(l-2)} & \cdots & 0 \\ & & &\cdots & \\ 0& 0 & 0 & \cdots & \sqrt{l(l+1)-(l-1)l}\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix} $$} e da {$$ l_- = \begin{bmatrix} -0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \sqrt{l(l+1)-l(l-1)} & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0& \sqrt{l(l+1)-(l-1)(l-2)} & \cdots & 0 & 0\\ & & \cdots & &\\ 0 & 0 & \cdots & \sqrt{l(l+1)-(l-1)l} & 0\end{bmatrix} $$} < Simmetrie e leggi di conservazione | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Il mare di Dirac, spin, particelle e antiparticelle > |