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ModelloShell

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Il modello a shell è composto di due parti.

• Identificazione del potenziale a cui sono soggetti i nucleoni. In realtà si tratta di una interazione a molti corpi, ma qui viene trattata in approssimazione di campo medio. Il potenziale è quello medio dovuto a tutti i nucleoni meno uno, ed agisce su ciascuno di essi.
• Risoluzione dell'equanzione di Schroedinger per questo potenziale, che produce uno schema di livelli. Questa soluzione è analoga a quella degli elettroni di un atomo, con le dovute differenze, conseguenza del fatto che il potenziale nucleare non è (solo) quello Coulombiano. Si noti che l'equazione non è relativistica, e va bene a patto che {$V_0\ll mc^2$}, un'assunzione ragionevole

Potenziale centrale.

L'approssimazione garantisce che si conserva il momento angolare totale. In analogia con il potenziale Coulombiano anche la parte principale attrattiva del potenziale nucleare, comune a neutroni e protoni (il cosiddetto campo medio) è proporzionale alla densità di massa nucleare, cioè in prima approssimazione alla densità di carica nucleare sondata dagli esperimenti di Hofstadter. Il fit fenomenologico dei dati di diffrazione di elettroni di alta energia (centinaia di MeV) è fatto con la funzione {$\rho(r)= {\rho_0}/(1+\exp[-(R-r)/b])$}, dove {$R=aA^{1/3}$} è il raggio nucleare e {$a,b$} rispettivamente il raggio del nucleone e lo spessore della regione superficale del nucleo. Quindi

{$$ V(r)= \frac {V_0} {1+e^{-\frac{R-r}b}} $$}

Questo potenziale, detto di Woods-Saxon, negativo ({$V_0<0$}), è molto squadrato, specie per {$A$} elevato. Enrico Fermi, prima ancora degli esperimenti di Hofstadter, lo approssimò, come si è visto nella pagina sul Gas di Fermi, con una buca rettangolare di profondità {$V_0$} e ne calcolò la massima energia occupata sfruttando il principio di esclusione: un solo nucleone per livello. La profondità della buca, {$|V_0|\approx\epsilon_F+E_b$} dove {$E_b\approx 8~\mbox{MeV}$} è l'energia di legame per nucleone, è stimata in una cinquantina di MeV, un valore che non dipende in prima approssimazione dal numero di nucleoni. La stima del gas di Fermi fornisce l'ordine di grandezza che giustifica, a posteriori, l'assunzione non relativistica dell'equazione di Schroedinger, dato che {$V_n$} risulta molto inferiore alla energia di massa a riposo di ciascun nucleone, circa 1 GeV.

Il modello può essere affinato, aggiungendo il potenziale Coulombiano nel caso del protone, senza che ciò alteri l'ordine di grandezza dell'energia di Fermi. La forma del potenziale devia da una semplice buca rettangolare (in 3 dimensioni), ma resta a questo livello l'approssimazione centrale, ovvero la conservazione del momento angolare totale. il numero quantico {$l$} sarà quindi una buona etichetta per distinguere gli stati di singola particella nella buca di Fermi (o di Woods-Saxon). È costume, come nel caso atomico, indicarli con lettere invece che con numeri, secondo la tabella

Non va confuso lo stato s ({$l=0$}) con il numero quantico di spin {$s$}.

Differenze e somiglianze con il caso atomico

La differenza più significativa ai fini del calcolo dei livelli nucleari, fino a questo punto, è la scomparsa della cosiddetta degenerazione accidentale del potenziale Coulombiano. La soluzione esatta dell'equazione di Schroedinger per l'atomo di idrogeno richede che il numero {$l$} caratterizzante il momento angolare orbitale sia limitato dal valore {$n-1$}, dove {$n$} è il numero quantico principale, già visto nel modello di Bohr. Questo fenomeno si chiama degenerazione accidentale, perchè porta ad un minor numero di livelli energetici ed è conseguenza ddiretta alla della specifica forma del potenziale Coulombiano, {$V(r)\propto r^{-1}$}. Viceversa per una forma qualunque, e per quella di {$V_n(r)$}, il numero quantico {$n-1$} descrive il numero dei nodi della funzione d'onda radiale (significato perso nel caso Coulombiano puro) e viene a mancare un limite superiore al numero quantico del momento angolare.

In definitiva nel caso atomico ci attendiamo i livelli con cui si compila la tavola periodica, in ordine crescente di energia ed ignorando il momento angolare {$1s$}, {$2s$}, {$2p$}, {$3s$}, {$3p$}, {$4s$} {$3d$} ...

Viceversa nel caso nucleare (neutroni e protoni, in due diagrammi separati) ci attendiamo i livelli {$1s$}, {$1p$}, {$1d$}, {$2s$}, {$1f$}, {$2p$}, {$1g$}, {$2d$}, {$3s$}, ... Si noti che esistono livelli come {$1p$} e {$2d$}, non presenti nel caso atomico.

Termini spettrali Se consideriamo lo spin di ciascuna singola particella gli stati saranno contraddistinti (etichettati) da una terna di numeri quantici {$n,l, s$}. Se includiamo {$s$}, ma il potenziale non dipende dallo spin, basterà disporre su ogni stato progressivamente una particella con spin su ed una con spin giù. Ma se esiste una ulteriore interazione dipendente da {$s$} dovremo considerare il momento angolare totale {$j=l+s$} di ogni particella, secondo i dettami della addizione di momenti angolari. Trattandosi sempre dello spin {$s=1/2$} di un singolo fermione, l'addizione è semplice: per {$l=0$} l'addizione produce solo {$j=1/2$}. per {$l=1, 2, 3, 4, \cdots$} si generano due stati possibili, {$j = l-1/2, l+1/2$} Questi stati si indicano con i termini spettrali. Il primo con il singolo termine {$s_{1/2}$}, gli altri con due termini ciascuno, {$p_{1/2}, p_{3/2}$}, oppure {$d_{3/2}, d_{5/2}$}, o ancora {$f_{5/2}, f_{7/2}$}, ... La lettera rappresenta il valore di {$l$} e il pedice il valore di {$j$}. Livelli del modello nucleare a shell. Il modello fu proposto indipendentemente nel 1949 da Maria Göppert-Mayer e da Hans Jensen, che ricevettero per questo metà del Premio Nobel 1963 (l'altra metà andò a Eugene Wigner, per lo studio della simmetria in abito quantistico). L'osservazione sperimentale che il modello si propone di riprodurre è la periodicità osservata nelle proprietà nucleari, in linea di principio simile a quella della tavola periodica di Mendeleev, ma che si riassume nell'osservazione di differenti numeri magici? di nucleoni. In corrispondenza di questi numeri si ha una maggior stabilità, maggiori energie di legame, forma nucleare più sferica (quadrupolo elettrico più piccolo), etc. I numeri magici atomici corrispondono alle shell piene, nella progressione di livelli ricordata sopra, (2,2,6,2,6,2,10,6,...). Essa produce numeri totali di elettoni per le shell piene pari a (2,4,10,12,18,20,20,36,...). Viceversa i numeri magici nucleari sono (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) sia per n, sia per p. Questi numeri si possono giustificare se si assume che ci sia anche un potenziale aggiuntivo dipendente da {$s$}. Questo tipo di potenziale esiste nel caso atomico, ed è dovuto al cosiddetto accopiamento spin-orbita. Si può pensarlo così: una carica che orbita è una corrente elettrica e produce un campo magnetico {$\mathbf B$}. Il campo, proporzionale alla corrente, ossia a {$\mathbf L$}, si accoppia al momento magnetico di spin {$\mu_s$} (non a quello orbitale, perchè nessuno può produrre una forza su sè stesso) con l'energia potenziale {$-\boldsymbol{\mu}_s\cdot\mathbf B$}, che si può quindi scrivere come un potenziale aggiuntivo {$$V_{SL}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}$$} Occorre però tener presente che nel caso nucleare: questo termine agisce sia su neutroni che su protoni è circa 20 volte più intenso di quanto previsto dall'analogia magnetica è di segno positivo, opposto a quanto previsto dall'analogia magnetica In conclusione si tratta di un termine la cui origine è nucleare, non magnetica. V. anche watts oxford La successione dei livelli è quella mostrata in figura. Come si vede il potenziale di spin-orbita produce una separazione dei livelli di campo centrale in sottolivelli corrispondenti ai termini spettrali.

(da wikipedia)

Calcolando la molteplicità dei nuovi livelli si vede che compaiono i numeri magici nucleari in corrispndenze del riempimento delle shell, o comunque in presenza di grande separazione dal livello superiore.

Dettagli della successione dei livelli

Se non ci fosse il potenziale aggiuntivo di spin-orbita i livelli sarebbero quelli di sinistra, ognuno in grado di ospitare {$2(2l+1)$} paricelle singole, metà con spin su e metà con spin giù. L'ordine di riempimento è indeterminato all'interno di ciascun livello, che ospita un numero 2(2l+1) stati. In questa approssimazione si giustificano altrettanti nuclei, classificandoli separatamente per numero di protoni e di neutroni. Si può tentare una stima dell'energia di legame leggermente più precisa che con il modello di Fermi.

Viceversa lo spin orbita raffina l'ordine di riempimento. Supponiamo sempre, nello spirito del modello di Fermi, che i neucleoni siano non interagenti e quindi occupino livelli successivi (principio di Pauli) del problema con un solo nucleone nel campo medio degli altri. Ma ammettiamo che il nucleone abbia spin 1/2 che interagisce con il suo stesso momento orbitale come specificato sopra. Quindi i livelli sono autostati del momento angolare totale j e si suddividono in due sottolivelli, {$j=l+1/2$} e {$j=l-1/2$} (tranne che per {$l=0$}). Il primo è sempre più legato del secondo (per via del segno di $V_{LS}$}.

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