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Modello di Fermi per il nucleo
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È un modello di campo medio in cui il nucleo corrisponde ad una buca di potenziale nella quale ciascun nucleone sente il potenziale nucleare attrattivo medio degli altri. Il potenziale ha un bordo netto perché la forza nucleare ha corto raggio d'azione (è schermata dal meccanismo di Yukawa). Tratta il cosiddetto gas di Fermi (gas quantistico in una scatola).
Un protone è distinguibile da un neutrone, ma due protoni (o due neutroni) non sono distinguibili tra loro. Siccome sono fermioni non possono avere gli stessi numeri quantici. Ciascun livello può essere occupato da due stati (spin su e spin giù). Consideriamo quindi in prima approssimazione una versione tridimensionale di un potenziale rettangolare per i protoni.
I livelli energetici nella buca sono calcolati con
{$$-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}-V_n$$}
quindi valgono {$\hbar^2 k^2/2m$} dal fondo della buca {$-V_n$}. Perciò si definisce una energia di Fermi, la massima occupata nel nucleo, come {$\epsilon_F=\hbar^2 k_F^2/2m$}.
In virtù del suo fondo piatto, ci attendiamo soluzioni in onde piane, {$e^{i{\mathbf k}\cdot\mathbf r}$}, che dovranno rispettare le condizioni al contorno, come le onde sulle corde di chitarra (nodi al bordo). La figura mostra che in una dimensione, con lunghezze d'onda {$2L,L,2L/3,L/2,...$}, si hanno vettori d'onda discreti {$k_m=m\frac \pi L$}, {$m=1,2,3,4,\cdots$}. La densità di vettori d'onda {$\rho_k$} è costante, un modo ogni {$\pi/L$}.
Per i protoni {$\rho_k=Z/2\Omega_k$} è la densità dei vettori d'onda (uniformemente distribuiti nel volume {$\Omega_K$}) e pari metà del numero {$Z$} delle particelle, perché distinti per spin, ↑ e ↓.
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Fig. 1 Buca di potenziale, livelli discreti, massimo livello occupato a {$E=\epsilon_F$} ed energia di legame (frecce nere)
Fig. 2 Primi modi armonici di una corda lunga L. Da Wikipedia
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In tre dimensioni un cubetto di volume {$(\pi/L)^3$} contiene un modo, e con {$L^3=V$} si ottiene {$\rho_k=Z/2\Omega_k=V/\pi^3$}. Per contare una sola volta ciascun livello, siccome le energie sono quadratiche in {$k=m\pi/L$}, occorre limitarsi ai valori positivi di {$m$}. Quindi {$\Omega_k$} corrisponda all'ottante positivo della sfera di raggio {$k_F$} (chiamata sfera di Fermi, {${\cal S}_F$}). Se la densità di protoni è {$n=Z/V$}, si ha {$k_F = (3 \pi^2 n)^{1/3}$} e di conseguenza (con {$V=4\pi a^3 A/3$})
{$$\epsilon_F=\frac {\hbar^2}{2m} (3\pi^2 n)^{2/3} = \frac {\hbar^2}{2ma^2} \left(\frac 3 2\right)^{4/3} \pi^{2/3} \left(\frac Z A \right)^{2/3}$$}
Per una stima dell'ordine di grandezza supponiamo {$Z/A\approx0.5$}, {$a\approx1.2\, 10^{-15}$} m, {$m=938$} MeV/c2, che fornisce {$\epsilon_F = 34.5$} MeV. Siccome l'energia di legame per un nucleone vale circa 8 MeV, la distanza in energia tra le due frecce nere in Fig. 1, la profondità della buca stimata in questo modello vale {$V_n\approx 43$} MeV.
Densità degli stati
La Figura 1 mostra che i livelli si addensano al crescere dell'energia. Si può calcolare una densità di livelli (degli stati) in energia in base a
{$$\frac N 2 = \int_{{\cal S}_F} \rho_k d^3 k \equiv \int_0^{\epsilon_F} \rho(\epsilon) d\epsilon$$}
In tre dimensioni la densità degli stati risulta {$\rho(\epsilon) = \alpha \sqrt\epsilon$}.
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