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MomentiAngolari< Spin e statistica | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Modello a shell > Introduzione I nucleoni, come gli elettroni, sono particelle a spin 1/2. Uno loro stato legato isolato conserva il momento angolare, ma occorre ricordare che oltre al momento angolare orbitale essi hanno un momento angolare di spin. Occorre quindi capire come si sommano questi due momenti angolari (e in seguito tenendo conto del fatto che si deve usare la meccanica quantistica. Abbiamo già notato che i nucleoni sono in realtà particelle composte (da quarks) e che il loro momento angolare viene chiamato spin nucleare per ragioni storiche, ma corrisponde in realtà al momento angolare totale dello stato legato dei quark costituenti. Per ragioni di semplicità esemplificheremo quindi il ragionamento pensando all'elettrone, che è una particella elementare in senso stretto, anticipando così un argoment che sarà utile nella descrizione degli atomi. Momento angolare quantistico Senza pretesa di alcuna derivazione ricordiamo che un momento angolare quantistico è descritto da una coppia di operatori che commutano e che quindi possono condividere un set di autovettori. Un numero intero {$l$} ne governa gli autovettori, in base alle equazioni {$$ \begin{align*} \hat{l^2} | l\, m\rangle &= \hbar l(l+1) | l\,m\rangle\\ \hat{l}_z | l\, m\rangle &= \hbar l | l\,m\rangle \quad (-l\le m\le l) \end{align*} $$} Ciò sancisce che il modulo del vettore momento angolare è più lungo della sua massima proiezione lungo l'asse z ({$\hbar\sqrt{l(l+1)}>\hbar l$}), cosa che non avviene nel caso classico. Precessione e modello vettoriale La precessione classica di una trottola in campo gravitazionale, o di un momento magnetico in campo magnetico, discende dalla legge della dinamica che impone che il cambiamento infinitesimo del momento angolare {$$ d\mathbf{L} = \boldsymbol{\tau}dt$$} sia gnella direzione del momento torcente. In entrambi i casi {$d\mathbf L$} è ortogonale sia al campo, sia a {$\mathbf L$}. Si realizza così la stessa geometria che produce il moto circolare uniforme, con {$\mathbf v$} tangenziale e {$d\mathbf v$} centripeta. Di conseguenza la punta del vettore {$\mathbf L$} ruota nel piano perpendicolare al campo. Ciò corrisponde alla precessione del momento angolare, che conserva il modulo di {$\mathbf L$} ed anche la sua proiezione lungo il campo {$L_z$}. C'è una analogia tra il moto classico di un momento magnetico {$\frac e {2m} \mathbf L$} in campo magnetico e lo stato del corrispondente momento angolare quantistico (in assenza di campo magnetico!). Le quantità conservate sono le stesse. Si può immaginare che le componenti trasversali, {$L_x, L_y$}, che nel caso quantistico sono semplicemente non osservabili simultaneamente ad {$L_z$}, ruotino come nel caso classico. Questa è la base del cosiddetto modello vettoriale, e serve solo per trovare una spiegazione analogica allo strano fatto che un momento quantistico {$l$} è lungo {$\sqrt{l(l+1)}$} ma può avere proiezione massima {$l$} in una data direzione (in unità di {$\hbar$}). La geometria descritta qui sotto fornisce una caso classico analogo alla descrizione quantistica, illustrata dall'equazione che fornisce i valori di {$j$} ammessi. Addizione dei momenti angolari
Al momento angolare di ogni particella carica è associato un momento magnetico. L'equazione che lega questi due vettori è sottilmente diversa per momento orbitale e di spin. Riferiamoci per semplicità ad un elettrone, che è una particella elementare, non composta. Se l'elettrone possiede un momento orbitale {$\mathbf l$} per il corripondente momento magnetico vale la relazione classica {$${\boldsymbol \mu}_l = g_l \frac e {2m} \mathbf l $$} con {$ g_l = 1$}. L'elettrone possiede anche un momento intrinseco di spin {$s$} per il quale vale {$$ {\boldsymbol \mu}_s = g_s \frac e {2m} \mathbf s $$} con {$ g_s = 2$} (in realtà per l'elettrone {$g_e = 2.00231930436(2)$}). In queste relazioni abbiamo utilizzato i momenti in unità di {$\hbar$} (ossia l=0,1,2,... ed s=1/2). Ne consegue che il momento magnetico totale {${\boldsymbol \mu}={\boldsymbol \mu}_l + {\boldsymbol \mu}_s$} non è parallelo al momento angolare totale {$\mathbf j = \mathbf l + \mathbf s$}. In termini quantistici sono osservabili simultanee (commutano) {$j^2, l^2, s^2$} e {$j_z$}, ma non {$l_z, s_z$}. La componente del momento magnetico lungo la direzione z e la lunghezza del vettore momento magnetico sono osservabili simultaneamente, e risultano definite attraverso un nuovo fattore {$g_j$} di Landé, come {$\mu_z=g_j \mu_B j_z$} e {$\mu^2 =g_j^2\mu_B^2 j^2$} dove {$\mu_B=e\hbar/2m_e$} Per ottenere il fattore di Landè occorre calcolare i due membri della uguaglianza {$\boldsymbol \mu \cdot\mathbf j ={\boldsymbol \mu}_l\cdot \mathbf j + {\boldsymbol \mu}_s\cdot \mathbf j$}. Con un po' di algebra si ottiene {$$ g_j=\frac 3 2 +\frac{s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}$$} Questo vale anche nel caso dei nucleoni, per i quali {$\mu_N=e\hbar/2m_p$}. Siccome sia i protoni che i neutroni sono composti di particelle cariche, dotate di spin e momento angolare, il loro fattore {$g$} è più complicato da calcolare e risulta essere {$g_n=-3.826, g_p =+5.586$}. < Spin e statistica | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Modello a shell > |
