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ModelloGoccia< Rutherford Scattering | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Modello di Yukawa > Raggio nucleare e densità Dagli esperimenti di Hofstadter si ricava un raggio medio per ogni nuclide, che risulta scalare come {$$ R = aA^{1/3}$$} Qui {$a$} assume il significato di raggio del nucleone e la funzione implica che il volume nucleare scali come {$A$}, ossia che il volume occupato da ogni singolo nucleone sia circa costante. Il volume cresce col numero di nucleoni perchè più nucleoni non possono occupano lo stesso spazio (evidenza del principio di esclusione di Pauli per particelle fermioniche). Nell'approssimazione descritta la densità di nucleoni {$\rho$} sarebbe costante in tutti i nuclei. In realtà c'è una debole diminuzione di {$\rho$} all'aumentare di {$A$}, dovuta alla repulsione Coulombiana tra protoni. Inoltre i dati di Hofstadter rivelano grossolanamente la variazione di {$\rho$} all'interno di ciascun nucleo, che è ben rappresentata dalla seguente funzione: {$$ \rho(r;A) = \frac {\rho_0(A)}{1+\exp\frac {r-R}{b}} $$} Energia media L'energia di un nucleo a riposo, incluso il suo difetto di massa può essere approssimato con una serie di correzioni successive. Il termine dominante è quello di massa, {$Mc^2=[Zm_p+(A-Z)m_n]c^2$}. La correzione è data dal difetto di massa, ovvero dall'energia di legame. In prima approssimazione questa è costante ed ha un valore di circa 8 MeV/nucleone. Ciò implica che una primo termine dell'energia di legame sia proporzionale ad A. I due termini successivi rappresentano l'energia di superficie (i nucleoni in superficie sono meno legati dalla forza nucleare attrattiva di quelli interni) e l'energia repulsiva Coulombiana. Il termine di superficie è proporzionale a {$R^2\propto A^{2/3}$}. L'energia di una distribuzione sferica uniforme di carica è {$\frac 3 5 \frac {Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}$} e quindi il termine corrispondente è proporzionale a {$Z^2A^{-1/3}$} Infine gli ultimi due termini rappresentano rispettivamente la tendenza ad avere tanti neutroni quanti protoni, {$A=2Z$} (asimmetria), e la variazione dell'energia di legame con la natura pari o dispari di {$Z$} e {$A-Z$} (interazione di coppia). Il risultato si può esprimere con la seguente formula: {$$\begin{align*} E_l &= -\quad a_1 \underbrace {A}_{\mbox{difetto di massa}\propto\mbox{volume}}\quad +\quad a_2 \underbrace {A^{2/3}}_{\mbox{superficie}} \\&\quad+a_3\underbrace {\frac {Z^2}{A^{1/3} } }_{\mbox{repulsione Coulombiana}}~+~a_4\underbrace { \frac {(Z-A/2)^2} A}_{Z\approx A/2}~+~a_5 A^{-1/2}f(Z,A) \end{align*}$$} che viene detta di Bethe-Weizsäcker. L'ultimo termine è la cosiddetta interazione a coppie e {$f(Z,A)=-1,0,1$}, a seconda che {$Z,A$} siano rispettivamente pari-pari, pari-dispari (o dispari-pari) oppure dispari-dispari. I valori dei coefficienti che danno un ragionevole accordo sono riassunti nella tabella in unità di MeV/c2 (https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-empirical_mass_formula#Calculating_the_coefficients).
Conseguenze Il valore di {$Z$} che garantisce il minimo dell'energia in funzione di A {$\left(\frac{dE_l}{dZ}=0\right)$} é {$$ Z = \frac A 2 \frac 1 {\frac{a_3} {4a_4} A^{2/3}+1} $$} da cui si ottiene il rapporto neutroni su protoni che minimizza {$E_l$} come {$A/Z = 2+A^{2/3}a_3/2a_4$} < Rutherford Scattering | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Modello di Yukawa > |