|
Idrogeno< Esperimento di Franck e Hertz | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Massa ridotta > Atomo di idrogeno, calcolo non relativistico L'atomo di idrogeno viene trattato nel corso di Introduzione alla Meccanica Quantistica e si rimanda a quel risultato, che qui richiameremo solo per sommi capi. L'equazione di Scrödinger per un elettrone nel potenziale eletrtostatico di una carica positiva puntiforme di massa infinita (nella realtà 1800 volte quella dell'elettrone) è un problema tridimensionale separabile in una equazione angolare ed una radiale, con l'assunzione che la funzione d'onda stazionalria sia fattorizzata nello stesso modo {$$\psi_{n l m}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)Y_{l m}(\theta,\phi)$$} Si mostra che {$Y_{l m}$} sono le armoniche sferiche e la funzione radiale {$R_{n l}(r)=L_{n m}(r/a_B)\exp(-r/na_B)$} è il prodotto di una esponenziale per un funzioni notevoli, i polinomi di Laguerre {$L_{n m}$}. Sappiamo inoltre già utilizzare nomenclature equivalenti: i momenti angolari orbitali {$l$} si traducono nell'alfabeto degli orbitali s, p, d, f, ... e l'autostato dell'elettrone viene anche rappresentato come ket (il suo coniugato come bra) {$|n\, l\, m\,\rangle$}. Gli autovalori dell'energia {$$E_n=-\frac {R_\infty hc} {n^2},$$} con la costante di Rydberg {$R_\infty h c=k_e^2 e^4 m_e/2\hbar^2$} e {$k_e=1/4\pi\varepsilon_0$}, sono gli stessi ottenuti da Bohr con il suo modello di quantizzazione empirica. Essi sono degeneri, sia per la loro indipendenza dal numero quantico magnetico {$m$}, che deriva dall'invarianza per rotazione, sia per la loro indipendenza da {$l$}, che è una ulteriore degenerazione accidentale, dovuta alla specifica forma {$V(r)\propto r^{-1}$} del potenziale Coulombiano. L'equazione di Schrödinger vale nel limite non relativistico. Ma è adeguata? Arnold Sommerfeld introdusse una costante adimensionale che rende conto di quanto è relativistico l'elettrone dello stato fondamentale, {$\alpha=\beta_{1s}=v_{1s}/c$}, calcolato classicamente dalla prima orbita di Bohr. Questa costante, chiamata costante di struttura fine per motivi che diventeranno chiari più avanti, ha un valore molto vicino a 1/137. L'approssimazione non relativistica è senz'altro giustificata, ma, data la natura non lineare in {$\beta$} dell'energia relativistica, ci si può attendere correzioni {$\delta E_n/E_n$} di ordine {$\alpha^2\approx 10^{-4}$}. L'energia di legame dello stato fondamentale dell'atomo di idrogeno (la costante di Rydberg) si esprime molto semplicemente nei termimi di {$\alpha$} come {$$ R_\infty hc = \alpha^2 \frac {mc^2} 2 $$} La costante di struttura fine corrisponde anche alla radice del rapporto tra il raggio classico dell'elettrone {$r_e$} e il raggio di Bohr {$$\alpha=\sqrt{\frac {r_e} {a_B}}$$} Per raggio classico dell'elettrone si intende il raggio al quale l'energia potenziale elettrostatica corrisponde all'energia invariante dell'elettrone, {$mc^2$}. Inoltre corrisponde anche al rapporto tra la lunghezza d'onda ridotta {$\lambda/2\pi$} caratteristica della diffuzione elastica della luce su un elettrone, la lunghezza d'onda ridotta di Compton {$\lambda_C/2\pi=\hbar/mc$} (pari alla lunghezza d'onda di De Broglie limite dell'elettrone, di momento {$mc$}) e il raggio classico dell'elettrone, ed infine al rapporto tra lunghezza d'onda Compton ridotta e raggio di Bohr. {$$ \alpha = \frac {2\pi r_e} {\lambda_C} = \frac {\lambda_C} {2\pi a_B} $$} È particolarmente utile ricordare il raggio di Bohr come {$$ a_B = \frac{\lambda_C} {2\pi} \frac 1 \alpha = \frac \hbar {mc \alpha} $$} La costante di struttura fine è la costante naturale per lo sviluppo perturbativo della QED in cui rappresenta la costante d'accoppiamento del campo elettronico (o più in generale dei campi fermionici carichi) con il fotone. In questa visione più moderna la costante di struttura fine, proporzionale a {$e^2$}, è vista come il quadrato di una carica efficace, vista da distanza infinita e schermata dalle polarizzazione di vuoto (v. NIST). Nel seguito esploriamo alcune proprietà dell'atomo di idrogeno (l'effetto della massa finita del protone, l'estensione agli atomi idrogenoidi, ossia agli ioni degli atomi di numero atomico {$Z$} ionizzati {$Z-1$} volte). Mostriamo poi che spettroscopia ad alta risoluzione dell'idrogeno rivela coppie (o doppietti) di frequenze spettrali, laddove le energie degeneri {$E_n$} prevedevano righe singole (le serie di Balmer, Lyman, etc.). I doppietti sono spiegati qualitativamente dallo spin elettronico e le frequenze vengono predette accuratamente dalla teoria relativistica. In particolare l'accordo è buono se si usano le correzioni relativistiche che descriveremo nel seguito, eccellente se si usa l'equazione di Dirac ed eccezionale con la QED (ma la scelta del problema è delicata: l'atomo di idrogeno conterrà anche correzioni ulteriori dovute alla natura composta del protone, alla QCD, mentre l'atomo di muonio, in cui il protone è rimpiazzato da un muone positivo, è soggetto a maggiori incertezze sperimentali). < Esperimento di Franck e Hertz | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Massa ridotta > |