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Dirac< Le matrici di Pauli e le regole di commutazione dei momenti angolari quantistici. | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | L'elettrodinamica quantistica (QED) > Occorre un principio di corrispondenza che soddisfi la relazione per l'energia relativistica {$E^2=m^2c^4+p^2c^2 $}, con {$c E\rightarrow -i\hbar \partial_t $} e {$ \mathbf{p} \rightarrow i\hbar \boldsymbol\nabla$} Una sostituzione diretta porta all'equazione usata da Yukawa (ne abbiamo visto solo la versione agli stati stazionari) e chiamata equazione di Klein-Gordon nella sua versione dipendente dal tempo {$$\begin{equation}(\hbar^2 \nabla^2 - m^2c^2)\phi =\frac{\hbar^2}{c^2} \partial_t^2 \phi\end{equation}$$} Questa equazione pone alcuni problemi di interpretazione: innanzitutto se si considerano gli stati stazionari, per ogni soluzione con autovalore dell'energia {$E>0$}, ne esiste palesemente una analoga con autovalore {$E<0 $}, che corrisponde ad energia negativa. Inoltre ci sono problemi seri con l'interpretazione probabilistica. {$|\psi|^2$} non può essere normalizzato perchè si comporta come una densità spaziale: si dilata mentre le lunghezze si contraggono e viceversa. Infine, se si procede da principi primi, definendo una corrente della funzione d'onda e un'equazione di continuità, la quantità che corrisponde alla densità di probabilità risulta non definita positiva. Il tutto deriva dalla natura quadratica dell'equazione. Occorre un'equazione lineare come quella di Schrödinger per sostenere l'interpretazione probabilistica. Klein-Gordon assomiglia al quadrato di qualcosa, ma non proprio. Mancano i doppi prodotti a sinistra, come avviene nel teorma di Pitagora, ossia quando si calcola il quadrato del modulo di un vettore. Dirac pensa di scrivere una equazione che genalizzi l'assenza di doppi prodotti nel prodotto scalare di un vettore per sé stesso. Ma la massa è uno scalare e nello spazio usuale a 3 dimensioni non si può evitare che il quadrato della somma di un termine di massa più un termine di momento (che è un vettore!) produca termini misti massa-momento. Esistono però soluzioni se ci non ci si limita alle sole dimensioni spaziali. Dirac che ha familiarità con le matrici lo intuisce e scrive {$$\begin{equation}(\mathbf p \cdot \boldsymbol\alpha + \beta mc^2)\psi = (i\hbar c \boldsymbol {\alpha} \cdot \boldsymbol{\nabla} + \beta mc^2)\psi = i \hbar \partial_t \psi\end{equation}$$} Questa è l'equazione di Dirac e {$\boldsymbol {\alpha}$} e {$\beta$} sono un insieme di quattro opportune matrici. Imponendo {$$\begin{equation}\boldsymbol {\alpha} =\begin{bmatrix}\mathbb{O} &\boldsymbol{\sigma} \\\boldsymbol{\sigma}&\mathbb{O}\end{bmatrix}\end{equation}$$} con {$\mathbb{O}$} matrice nulla 2x2 e {$\boldsymbol\sigma$} le tre matrici di Pauli per soddisfare il prodotto scalare contenuto nell'equazione di Dirac, e {$$\begin{equation} \beta = \begin{bmatrix}\mathbb{I} &\mathbb{O} \\\mathbb{O} & -\mathbb{I}\end{bmatrix}\end{equation}$$} con {$\mathbb{I}$} pari alla matrice unità 2x2, l'equazione resta lineare. Però si scopre che, applicando {$ -i\hbar \partial_t $} ad entrambi i membri dell'equazione, si riottiene l'equazione di Klein- Gordon, senza generare termini addizionali misti massa-momento. Questo significa che le soluzioni dell'equazioni di Dirac soddisfano anche l'equazione di KG. L'equazione di Dirac risolve il problema dell'interpretazione probabilistica di {$|\psi|^2$}, ma restano evidentemente le sorprendenti soluzioni ad energia negativa. Inoltre le soluzioni {$\psi$} acquistano una speciale natura di vettori a quattro componenti, tante quante le dimensioni di {$\boldsymbol {\alpha}, \beta$}. I vettori 4x1 si possono anche vedere come due spinori (vettori 2x1) sovrapposti. Antimateria e spin Da una analisi fatta più sotto risulta che in regime non relativistico il vettore si scompone in due componenti, chiamate {$\psi_{L,S}$}, grande e piccola (large, small) {$$ \psi(\mathbf{r})=\begin{bmatrix} \psi_L(\mathbf{r}) \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \\ \psi_S(\mathbf{r})\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}$$} ovvero due spinori. Il nome grande e piccola implica che in regime non relativistico si può trascurare la seconda, e la funzione d'onda si approssima al vettore con le due componenti {$c,d=0$}. Se le componenti piccole sono nulle il vettore 4x1, che è una soluzioni di energia positiva, si può riscrivere semplicemente come spinore 2x1 e corrisponde quindi ad una particella di spin 1/2. Il vettore con {$a,b=0$} è una soluzioni di energia negativa, anch'essa quindi riducibile ad uno spinore (ad una particella a spin 1/2). Essa è quasi del tutto assente in regime non relativistico. Siccome invece in regime relativistico {$\psi_S$} ha valori confrontabili con {$\psi_L$} la funzione d'onda della particella quantistica esatta (il vettore 4x1) comporta una miscela di soluzioni ad energia positiva e negativa. Dirac inizialmente propose il mare (detto poi di Dirac) come interpretazione delle energie negative. Immaginò cioè che le particelle di energia negativa fossero elettroni che riempivano completamente gli infiniti livelli corrispondenti. Una visione simile, ma limitata infeirmente, è quella del "mar di Fermi" che vale nelle bande elettroniche dei solidi, in particolare in quelle semipiene dei metalli. Vi sono molti stati occupati e l'eccitazione termica coinvolge solo gli ultimi stati vicini all'energia di Fermi. Stiamo descrivendo lo stato fondamentale di un insieme di fermioni non interagenti in una buca di potenziale, le cui energie negative sono le energie di legame; una particella libera estratta dal mare di Fermi, ad esempio per eccitazione termica, lascia una lacuna nello stato fondamentale. La lacuna si comporta come una particella di carica opposta. Due anni dopo, nel 1930, Dirac suggerì una nuova spiegazione in cui gli stati ad energia negativa andavano interpretati come stati ad enegia positiva di particelle di carica opposta, citando esplicitamente i protoni. Ma, come notò Weyl, l'equazione di Dirac dgli eletroni riguarda particelle di massa {$m_e$}. Viceversa, due anni dopo Carl Anderson scoprì il positrone, che venne subito interpretato come antimateria, ossia anti-elettrone. Ciò corrisponde al fatto che ad alte energie ({$>mc^2$}) è possibile generare coppie particella-antiparticella. Questa è proprio la situazione rappresentata dalla miscela di componenti L e S vista sopra, quando hanno ampiezza simile. I due spinori della funzione d'onda di Dirac si scambiano tra loro per coniugazione di carica, {$e\rightarrow-e$} e inversione temporale {$t\rightarrow-t$} (ma lo si vede semplicemente solo dopo aver introdotto l'interazione con il campo elettromagnetico). Limite non relativistico Consideriamo la soluzione agli stati stazionari, {$\psi$} con {$\psi(t)=\psi e^{-iE/\hbar t}$}. Se sostituiamo la soluzione Eq. (4) e le matrici {$\boldsymbol \alpha$} e {$\beta$} -- Eq. (3) e (4) -- nell'equazione di Dirac Eq. (2) otteniamo le seguenti due equazioni per gli stati stazionari {$$\begin{align} (mc^2-E)\psi_L + \hbar{\boldsymbol \sigma}\cdot{\mathbf p}c\,\psi_S &= 0\\ - \hbar{\boldsymbol \sigma}\cdot{\mathbf p}c\,\psi_L+ (mc^2+E)\psi_S &= 0\end{align} $$} in cui si sottointende che {${\mathbf p} = i\hbar{\boldsymbol\nabla}$}. Il limite non relativistico, {$|{\mathbf p}|\ll mc^2$}, consente di trascurare il coefficiente di {$\psi_S$} rispetto a quello di {$\psi_L$} nella prima equazione, riducendola ad un'equazione per il solo spinore Large che ha come soluzione {$E\approx mc^2$}. Di conseguenza la seconda equazione diventa {$$\psi_S = \frac {\hbar{\boldsymbol \sigma}\cdot{\mathbf p}}{2mc}\psi_L $$} rivelando che il secondo spinore Small è di ordine {$|{\mathbf p}|/mc\approx v/c$} rispetto a quello Large. Questa condizione naturalmente non è più valida quando ci si avvicina al regime relativistico. Questo giustifica il fatto che la prima correzione relativistica all'equazione di Schroedinger consiste nel dare uno spin all'elettrone: la funzione d'onda {$\psi$} di Schrödinger, originariamente scalare, diventa uno spinore. Come abbiamo visto per i nuclei e vedremo per gli atomi questo basta ad introdurre importanti correzioni ai modelli, in accordo con gli esperimenti. La traccia illustrata qui sopra permette di includere l'effetto del campo magnetico nell'equazione di Schrödinger ottenendo un termine di interazione spin-campo, che Pauli ottenne indipendentemente con il principio di corrispondenza e che incontreremo più avanti. < Le matrici di Pauli e le regole di commutazione dei momenti angolari quantistici. | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | L'elettrodinamica quantistica (QED) > |