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Yukawa

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Hideki Yukawa (1907-1981) fece il primo tentativo di successo di descrivere la forma della forza nucleare forte, basandosi su una analogia con il campo elettromagnetico, la cui quantizzazione porta all'identificazione di una particella mediatrice, il fotone, che può essere emessa ed assorbita dalle particelle cariche.

Forza nucleare forte

Caratteristiche principali:

• Attrattiva tra neutroni e protoni, non li distingue
• Due ordini di grandezza più intensa della forza di Coulomb su scale sotto alla decina di fm
• L'intensità decade più velocemente che con una legge a potenza per distanze maggiori della decina di fm(*)

(*) Più esplicitamente, una forza che dipende da r come una legge a potenza con esponente negativo ha range infinito (il range di una forza centrale è definito come l'integrale del modulo della forza tra zero e infinito). Per contrasto una legge che si annulla esponenzialmente all'aumentare della distanza, come {$\exp(-r/\lambda)$}, ha range finito (pari a {$\lambda$}).

Analogia con il campo elettromagnetico

Descriviamo dapprima il fotone, la particella che media l'interazione elettromagnetica, in due punti.
Primo punto: Le equazioni di Maxwell danno origine ad una equazione delle onde che qui scriviamo per il potenziale, in presenza di sorgenti statiche (la densità di carica {$\rho$})

{$$\nabla^2\phi - \frac 1 {c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = - \frac \rho {\varepsilon_0}$$}

Nel vuoto, lontano dalle sorgenti ({$\rho=0$}) la soluzione è data da onde piane {$\phi_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} -\omega t)}$}. Soluzioni di questo tipo sostituite nell'equazione d'onda la soddisfano trasformandola in una semplice equazione algebrica.

{$$\left(\frac\omega c\right)^2=k^2 $$}

che rappresenta la dispersione dello spettro delle onde elettromagnetiche, ossia il fatto che, nel vuoto, tutte le frequenze si propagano con velocità {$c$}.

Secondo punto: Il fotone è un quanto (ossia una particella, un pacchetto d'onda) di radiazione elettromagnetica caratterizzato dal fatto che trasporta una quantità d'energia definita, pari a {$\hbar\omega$}, ed un momento lineare {${\mathbf p} = \hbar \mathbf{k}$}. Queste due quantità devono rispettare la relazione di dispersione, entro il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Inoltre l'equazione del moto per il fotone si può riscrivere a partire dalla dispersione con un principio di corrispondenza: a {$\mathbf p$} corrisponde {$\hbar\boldsymbol \nabla$} e ad {$E$} corrisponde {$\hbar\partial_t$}.

Per analogia una particella dotata di massa {$m$}, che obbedisce all'equazione relativistica classica: {$$\left(\frac E {c}\right)^2={p^2+m^2c^2}$$} corrisponde ad un quanto che obbedisce ad una equazione d'onda nel vuoto. L'equazione si ricava dividendo ambo i membri per {$\hbar^2$} e con il medesimo principio di corrispondenza: {$$\left[ \nabla^2 - \frac 1 {c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \left(\frac{mc} \hbar\right)^2 \right]\phi = 0$$} ed è nota come equazione di Klein-Gordon. La soluzione è sempre data da onde piane ma la loro dispersione differisce da quella delle onde elettromagnetiche nel vuoto per un termine di massa {$$\omega^2 = (ck)^2+ \left(\frac{mc^2} \hbar\right)^2$$} ben visibile nella figura, corrispondente ad un intervallo di frequenze (quindi di energie) inaccessibili alla particella.

Potenziale schermato e massa del quanto

Lo scopo di Yukawa era di fornire un possibile modello della forza forte. Per descrivere la forza si può partire dal potenziale (classicamente, con il principio dei lavori virtuali {$\mathbf{F}(r)=-\boldsymbol{\nabla} \phi(r)$}). Ricorriamo quindi di nuovo all'analogia con il fotone. Il potenziale è la soluzione formale dell'equazione delle onde, in presenza di sorgenti {$\rho$}, data da {$$\phi({\mathbf r})= k_e \,\int \frac {\rho(\mathbf{r^\prime})}{\mid \mathbf{r}-\mathbf{r^\prime}\mid} d\mathbf{r^\prime} $$} che, per una sorgente puntiforme nell'origine {$\rho(r)=e\delta(r)$}, diventa {$\phi_0(r)= k_e \frac {e}{r}$}, il noto potenziale Coulombiano. Per analogia l'equazione con una sorgente puntiforme sarà: {$$\left[\nabla^2 - \frac 1 {c^2} \frac {\partial^2 }{\partial t^2} - \left(\frac {mc} \hbar\right)^2\right]\phi = - \frac {e\delta(\mathbf{r} )}{\varepsilon_0}$$} Qual'è la forma del potenziale che è soluzione di quest'equazione? La risposta, spiegata in Appendice, è data da {$$ \phi(r) = \phi_0(r) e^{-\kappa r}$$} con {$\kappa=mc/\hbar$}. Nella figura questo potenziale è confrontato con un potenziale Coulombiano di pari intensità (uguale sorgente, notare la scala logaritmica)

Questo potenziale si dice schermato, o confinante: per distanze grandi rispetto a {$\kappa^{-1}$} si annulla rapidamente. Secondo la definizione data all'inizio il range della forza corrispondente è {$\kappa^{-1}$}. In analogia con due cariche ed i fotoni, ci si può immaginare due nucleoni che entro qualche {$\kappa^{-1}$} si attirano con una forza intensa assorbendo e riemettendo quasta particella mediatrice. Se giaciono a distanze grandi rispetto a {$\kappa^{-1}$} non si attraggono.

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