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FitLineareSignificatoCostanti< Stima degli errori sui parametri | Indice | Bontà del fit > Significato statistico delle costanti Quando abbiamo risolto il sistema di equazioni lineari che rende minima la funzione {$\chi^2$}, abbiamo introdotto cinque costanti (ivi, eq. 3), che qui riscriviamo in modo più generale, ossia assumendo varianze indipendenti {$\sigma_i$} per ciascun valore {$y_i$}: {$ \qquad\qquad\qquad\qquad [y] = \sum_i \frac {y_i} {\sigma_i^2}; \qquad\qquad [x] = \sum_i \frac {x_i} {\sigma_i^2}; \qquad\qquad [1] = \sum_i \frac 1 {\sigma_i^2} $} {$ (1) \qquad\qquad [x^2] = \sum_i \frac {x_i^2} {\sigma_i^2}; \qquad\qquad [xy] = \sum_i \frac {x_iy_i} {\sigma_i^2}. $} Confrontando queste espressioni con la definizione di media pesata, '{$\langle y \rangle_w$} è immediato ricavare quest'ultima vale: {$ (2) \qquad\qquad \langle y \rangle_w = \frac {[y]} {[1]} $} Si può scrivere una relazione formalmente analoga per {$\langle x \rangle_w$}, ricordando però che questa media pesata non è quella appropriata per la variabile indipendente {$x$}, che è supposta nota con grande precisione: {$ (3) \qquad\qquad \langle x \rangle_w = \frac {[x]} {[1]}, $} mentre in questa versione della media stiamo usando i pesi statistici della variabile dipendente. Infine c'è una analoga relazione formale tra varianza, covarianza e le rimanenti due costanti. Possiamo calcolare la varianza pesata di {$x$}, come: {$ (4) \qquad\qquad \sigma_{x,w}^2 = \langle x^2 \rangle_w - \langle x \rangle_w^2 = \frac {[x^2]}{[1]}\,-\,\frac{[x]^2}{[1]^2}, $} e la covarianza pesata di {$x$} e {$y$}, come: {$ (5) \qquad\qquad \sigma_{xy,w}^2 = \langle xy \rangle_w<xy>_w - \langle x \rangle_w \langle y \rangle_w = \frac {[xy]}{[1]}\, - \, \frac{[x][y]}{[1]^2}, $} < Stima degli errori sui parametri | Indice | Bontà del fit > |