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MediaPesata< Casi semplici | Indice | Stime di medie ed errori e test dell'accordo > La media pesata di una serie di misure {$\{x_i\]$} con i pesi {$w_i$} corrisponde al calcolo della grandezza {$ (1) \qquad\qquad \bar x = \sum_{i=1}^N w_1 x_i $} dove i pesi devono essere normalizzati, ovvero la loro somma deve dare 1. La media semplice corrisponde alla scelta di pesi uniformi, {$w=1/N$}. Questa generalizzazione del concetto di media ha una applicazione di immediata comprensione nel caso in cui si voglia ricavare la massima informazione utilizzando due o pił serie di misure, caratterizzate da incertezze molto differenti. Ad esempio si supponga di aver effettuato una prima misura ripetuta con una apparecchiatura, di averla quindi perfezionata e di aver proceduto ad una seconda misura ripetuta con errori sperimentali minori. E naturale ritenere che le misure pił precise abbiano un peso maggiore, e pił avanti si vedrą che questo peso deve essere proporzionale all'inverso della loro varianza, ossia, normalizzando: {$ (2) \qquad\qquad w_i = \frac 1 {s_i^2 \sum_{j=1} ^N s_j^{-2}} $}
Quale sarą in questo caso l'incertezza media da attribuire a ciascun dato pesato? Il calcolo si effettua utilizzando gli stessi pesi per effettuare la media degli scarti quadrati: {$ s_x^2 = \sum_{i=1} ^N s_i^2 \frac 1 {s_i^2 \sum_{j=1} ^N s_j^{-2}} = \frac N { \sum_{j=1} ^N s_j^{-2}} $} da cui scende: {$ (3) \qquad\qquad s_x = \sqrt {\frac N {\sum_{j=1}^N s_j^{-2}} } $} Possiamo fare un semplice controllo su queste espressioni. Se imponiamo che tutti le incertezze siano uguali, {$s_j=s$}, si ottiene subito dalla (2) che i pesi sono pari al fattore {$1/N$} della media semplice, la varianza diviene {$s^2$} e l'espressione (3) per la deviazione standard dą {$s$}, come ci si attende. < Casi semplici | Indice | Stime di medie ed errori e test dell'accordo > |