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Fit lineare: errori sui parametri

Una volta trovati i valori dei coefficienti {$a$} e {$b$} della retta che meglio interpola i dati sperimentali {$\{x_i,y_i\}$} occorre domandarsi che incertezza attribuire loro.

Si può rispondere ricorrendo, come si è già fatto in precedenza, alla propagazione degli errori. In questo caso è nota la varianza {$\sigma_i^2$} dei soli dati sperimentali {$\{y_i\}$} (si trascurano le incertezze su {$\{x_i\}$}).

Nel caso più semplice in cui {$\sigma_i=\sigma$} costante, la varianza delle due quantità {$a$} e {$b$} si ottiene in base alla propagazione, Eq. (8), come:

{$ \sigma_a^2 = \sum_{i=1}^N \sigma^2 (\frac {\partial a} {\partial y_i})^2; $}

{$ \sigma_b^2 = \sum_{i=1}^N \sigma^2 (\frac {\partial b} {\partial y_i})^2 ; $}

Se si ricorre alle espressioni appena trovate (Eq. (5), pagina precedente) si ricava che:

{$ \frac {\partial a} {\partial y_i} = \frac {[1]x_i/\sigma^2-[x]/\sigma^2} {[1][x^2]-[x]^2}; $}

{$ \frac {\partial b} {\partial y_i} = \frac {[x]x_i/\sigma^2-[x^2]/\sigma^2} {[1][x^2]-[x]^2}\, , $}

avendo sfruttato il fatto che:

{$ \frac {\partial [xy]} {\partial y_i} = \sum_j \frac {x_j}{\sigma^2} \,\frac {\partial y_j} {\partial y_i} = \frac {x_i}{\sigma^2}, \qquad\qquad\mbox{ e che} \qquad\qquad\frac {\partial [y]} {\partial y_i} =\sum_j \frac 1 {\sigma^2}\,\frac {\partial y_j} {\partial y_i} = \frac 1 {\sigma^2}. $}

In definitiva, dopo alcuni calcoli, si ottiene:

{$ (1) \qquad\qquad \sigma_a^2= \frac {[x^2]}{[1][x^2]-[x]^2}; \qquad\qquad\mbox{ e } \qquad\qquad \sigma_b^2= \frac {[1]}{[1][x^2]-[x]^2} $}

Il risultato 1 non cambia se si rimuove la semplificazione di varianza costante sui dati {$y_i$}, come si può verificare ripetendo il calcolo.

Esercizio: Volendo ottenere parametri ed errori in matlab oppure octave basta calcolare le quantità definite dalle parentesi quadre a partire dalle {$N$} coppie di valori sperimentali; provare a costruire una opportuna:

function [a,b,sa,sb]=linfit(x,y,sy)

che restituisca queste quattro quantità. Suggerimento: calcolare subito tutte le quantità rappresentate dai simboli {$\[\cdots\]$} e quindi con esse le quattro espressioni date dalle Eq. (1) di questa pagina e dalle Eq. (5) della pagina precedente

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