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FitLineareChiQuadro< Massima verosimiglianza applicata al fit | Indice | Stima degli errori sui parametri > Fit lineare: come minimizzare la funzione χ2 Il metodo per ottenere il minimo della funzione {$\chi^2$} è semplice, visto che la questa quantità ora va considerata come funzione dei parametri {$a$} e {$b$}, mentre i dati sperimentali sono costanti. Chiamiamo {$y$} la variabile dipendente misurata, per maggiore generalità. Basta imporre che siano nulle contemporaneamente le derivate parziali rispetto ad {$a$} e a {$b$} della funzione: {$ (1) \qquad\qquad \chi^2(a,b)= \frac 1 {\sigma_y^2} \sum_i (y_i-a-bx_i)^2, $} che sono facili da calcolare: {$ \qquad\qquad\qquad\qquad \frac {\partial \chi^2} {\partial a} = - \frac 2 {\sigma_y^2} \sum_i (y_i-a-bx_i) = 0, $} {$ (2) \qquad\qquad \frac {\partial \chi^2} {\partial b} = - \frac 2 {\sigma_y^2} \sum_i x_i(y_i-a-bx_i) = 0. $} Le relazioni ottenute costituiscono un sistema di equazioni lineari in {$a$} e {$b$}, che risulta più facile da riscrivere e risolvere se si nota che contiene solo quattro tipi di somme, per le quali definiamo una notazione stenografica, e cioè: {$ \qquad\qquad\qquad\qquad[y] = \sum_i y_i; \qquad\qquad [x] = \sum_i x_i; \qquad\qquad [1] = \sum_i 1 $} {$ (3) \qquad\qquad [x^2] = \sum_i x_i^2; \qquad\qquad [xy] = \sum_i x_iy_i. $} Visto che i valori sperimentali sono noti, si tratta in pratica di quattro costanti, ed il sistema (2) risulta: {$ (4) \qquad\qquad \left\{ \begin{array} [y]-a[1]-b[x]=0,\\\ [xy]-a[x]+b[x^2]=0\end{array} \right\ $} Con alcuni calcoli algebrici si ricavano le soluzioni: {$ (5) \qquad\qquad a= \frac {[x^2][y]-[x][xy]}{[1][x^2]-[x]^2}; \qquad\qquad b=\frac {[1][xy]-[x][y]}{[1][x^2]-[x]^2}. $} I parametri della miglior retta che approssima un generico insieme di dati {$\{x_i,y_i\}$} sono forniti da qualunque calcolatrice scientifica, che non fa altro che calcolare le (5) in base ai valori delle (3). < Massima verosimiglianza applicata al fit | Indice | Stima degli errori sui parametri > |