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CalcoloDiPi

< Generatore di numeri pseudocasuali secondo una distribuzione uniforme | Indice | Generatori di numeri pseudocasuali secondo altre distribuzioni: trasformazione. >

Un esempio semplice: il calcolo di π.

Esiste un modo molto semplice per calcolare {$\pi$} con metodi aleatori. Immaginate che stia piovendo con regolarità nel cortile. Disegnate per terra un grande quadrato con un cerchio inscritto. Se L è il lato del quadrato il rapporto tra le aree delle due figure sarà: {$ \frac {A_c} {A_q} = \frac {\pi (\frac L 2)^2} {L^2} = \frac \pi 4 $}, e, qualunque metodo si adoperi per calcolare questo rapporto, basterà moltiplicare per 4 il risultato per ottenere una stima di π.

Le gocce di pioggia offrono un buon metodo statistico: cadranno entro il perimetro di ciascuna figura in proporzione all'area, quindi il rapporto tra il numero {$N_c$} di gocce che cadono nel cerchio e il numero {$N_q$} di gocce che cadono nel quadrato sarà anch'esso pari a {$\pi/4$}.

Fig. 1 Cerchio inscritto nel quadrato: il rapporto tra il numero di gocce di pioggia entro l'uno ed entro l'altro è proporzionale a {$\pi$}

Il generatore di numeri casuali consente di simulare la pioggia, Generando N coppie di numeri compresi tra -1 ed 1 si ottengono coordinate di punti casuali uniformemente distribuiti entro il quadrato di lato 2 centrato nell'origine, mostrato in figura.

Ora basta contare quanti tra i punti generati stanno entro il cerchio, moltiplicare per 4 e dividere per {$N$}.

Questo algoritmo si presta a controlli statistici ulteriori:

1. qual è l'incertezza su una stima ottenuta con {$N$} coppie di numeri casuali?
2. come saranno distribuiti i valori di {$M$} stime attorno al valore vero di {$\pi$}?

Alla prima domanda si può rispondere a posteriori, ricavando la deviazione standard sperimentale di {$M$} stime, oppure a priori, considerando che l'estrazione entro il cerchio è un processo Poissoniano di cui si sa calcolare media e deviazione standard

{$\pi$}; si può calcolare in matlab con 15 cifre decimali con i seguenti comandi

format long

pi

oppure si può ricordare fino a 21 cifre decimali contando la lunghezza delle parole della seguente filastrocca:

La risposta è: 3.141592653589793237146

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