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MediaVarianzaPoisson< Distribuzione di Poisson | Indice | Distribuzione normale > Calcolo della media, della varianza e della deviazione standard di una distribuzione di Poisson Dalla definizione della distribuzione si ricava che il valor medio, ad esempio il numero medio di eventi nell'intervallo di tempo {$t$}, noto il tempo medio in cui accade un evento, {$\tau$}, è dato da: {$ \langle m \rangle = \sum_{m=0}^\infty m P(m;\mu) = \sum_{m=0}^\infty m \, \frac {\mu^m} {m!} \, e^{-\mu} $} Nell'esempio temporale accennato sopra si avrebbe {$\mu = t/\tau$}. È facile calcolare la sommatoria se si nota che il primo termine, per {$n=0$}, è nullo, mentre i termini successivi si possono scrivere come: {$ \mu e^{-\mu} \frac {\mu^{m-1}}{(m-1)!}. $} Basta quindi ribattezzare n=m-1 per ottenere: {$ (1) \qquad \qquad \langle m \rangle = \mu \sum_{n=0}^\infty \frac {\mu^n} {n!} \, e^{-\mu} = \mu $} grazie al fatto che la sommatoria infinita coincide con quella di {$P(n;\mu)$} e ha come risultato 1. In modo simile si calcola la varianza: {$ (2) \qquad \qquad \sigma^2 = \langle m^2 \rangle - \langle m \rangle^2 = \mu, $} da cui scende che la deviazione standard vale: {$ (3) \qquad \qquad \sigma= \sqrt(\mu). $} Quest'ultimo risultato è di rilevanza molto generale e vale la pena di esemplificarlo. Immaginiamo di avere ottenuto un conteggio che obbedisce alla statistica di Poisson, ad esempio il numero di intervistati, {$m$}, che sceglie la risposta B del questionario, oppure il numero {$m$} di abitanti nel raggio di 10 km da un impianto industriale che si ammalano di leucemia in un anno. A rigore entrambi questi esempi riflettono una statistica binomiale (perchè è finito il valore massimo che {$m$} può assumere, pari al numero totale {$M$} di intervistati o di abitanti, rispettivamente). Ma se {$M$} è elevato siamo nel limite tipico in cui si applica la distribuzione di Poisson. Supponendo che il valore {$m$} ottenuto dal nostro campione, questo questionario, oppure l'anno in corso, sia rappresentativo del valore medio possiamo subito stimare dalla (1) e dalla (2) che l'incertezza su {$m$} è: {$ s=\sqrt m $}. L'errore relativo risulterà dunque essere {$ \frac s \mu = \frac 1 {sqrt N} $}, ossia il 30% con {$m=10$} conteggi, il 20% con {$m=25$} conteggi, il 10% con {$m=100$} conteggi, etc. < Distribuzione di Poisson | Indice | Distribuzione normale > |