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Calcolo della media, della varianza e della deviazione standard di una distribuzione di Poisson

Dalla definizione della distribuzione si ricava che il valor medio, ad esempio il numero medio di eventi nell'intervallo di tempo $t$, noto il tempo medio in cui accade un evento, $\tau$, è dato da:

$\langle m \rangle = \sum_{m=0}^\infty m P(m;\mu) = \sum_{m=0}^\infty m \, \frac {\mu^m} {m!} \, e^{-\mu}$

Nell'esempio temporale accennato sopra si avrebbe $\mu = t/\tau$. È facile calcolare la sommatoria se si nota che il primo termine, per $n=0$, è nullo, mentre i termini successivi si possono scrivere come: $\mu e^{-\mu} \frac {\mu^{m-1}}{(m-1)!}.$ Basta quindi ribattezzare n=m-1 per ottenere:

$(1) \qquad \qquad \langle m \rangle = \mu \sum_{n=0}^\infty \frac {\mu^n} {n!} \, e^{-\mu} = \mu$

grazie al fatto che la sommatoria infinita coincide con quella di $P(n;\mu)$ e ha come risultato 1. In modo simile si calcola la varianza:

$(2) \qquad \qquad \sigma^2 = \langle m^2 \rangle - \langle m \rangle^2 = \mu,$

da cui scende che la deviazione standard vale:

$(3) \qquad \qquad \sigma= \sqrt(\mu).$

Quest'ultimo risultato è di rilevanza molto generale e vale la pena di esemplificarlo. Immaginiamo di avere ottenuto un conteggio che obbedisce alla statistica di Poisson, ad esempio il numero di intervistati, $m$, che sceglie la risposta B del questionario, oppure il numero $m$ di abitanti nel raggio di 10 km da un impianto industriale che si ammalano di leucemia in un anno. A rigore entrambi questi esempi riflettono una statistica binomiale (perchè è finito il valore massimo che $m$ può assumere, pari al numero totale $M$ di intervistati o di abitanti, rispettivamente). Ma se $M$ è elevato siamo nel limite tipico in cui si applica la distribuzione di Poisson.

Supponendo che il valore $m$ ottenuto dal nostro campione, questo questionario, oppure l'anno in corso, sia rappresentativo del valore medio possiamo subito stimare dalla (1) e dalla (2) che l'incertezza su $m$ è: $s=\sqrt m$. L'errore relativo risulterà dunque essere $\frac s \mu = \frac 1 {sqrt N}$, ossia il 30% con $m=10$ conteggi, il 20% con $m=25$ conteggi, il 10% con $m=100$ conteggi, etc.

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