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MediaVarianzaPoisson< Distribuzione di Poisson | Indice | Distribuzione normale > Calcolo della media, della varianza e della deviazione standard di una distribuzione di Poisson Dalla definizione della distribuzione si ricava che il valor medio, ad esempio il numero medio di eventi nell'intervallo di tempo t, noto il tempo medio in cui accade un evento, τ, è dato da: ⟨m⟩=∑∞m=0mP(m;μ)=∑∞m=0mμmm!e−μ Nell'esempio temporale accennato sopra si avrebbe μ=t/τ. È facile calcolare la sommatoria se si nota che il primo termine, per n=0, è nullo, mentre i termini successivi si possono scrivere come: μe−μμm−1(m−1)!. Basta quindi ribattezzare n=m-1 per ottenere: (1)⟨m⟩=μ∑∞n=0μnn!e−μ=μ grazie al fatto che la sommatoria infinita coincide con quella di P(n;μ) e ha come risultato 1. In modo simile si calcola la varianza: (2)σ2=⟨m2⟩−⟨m⟩2=μ, da cui scende che la deviazione standard vale: (3)σ=√(μ). Quest'ultimo risultato è di rilevanza molto generale e vale la pena di esemplificarlo. Immaginiamo di avere ottenuto un conteggio che obbedisce alla statistica di Poisson, ad esempio il numero di intervistati, m, che sceglie la risposta B del questionario, oppure il numero m di abitanti nel raggio di 10 km da un impianto industriale che si ammalano di leucemia in un anno. A rigore entrambi questi esempi riflettono una statistica binomiale (perchè è finito il valore massimo che m può assumere, pari al numero totale M di intervistati o di abitanti, rispettivamente). Ma se M è elevato siamo nel limite tipico in cui si applica la distribuzione di Poisson. Supponendo che il valore m ottenuto dal nostro campione, questo questionario, oppure l'anno in corso, sia rappresentativo del valore medio possiamo subito stimare dalla (1) e dalla (2) che l'incertezza su m è: s=√m. L'errore relativo risulterà dunque essere sμ=1sqrtN, ossia il 30% con m=10 conteggi, il 20% con m=25 conteggi, il 10% con m=100 conteggi, etc. < Distribuzione di Poisson | Indice | Distribuzione normale > |