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DistribuzioneDiPoisson< Media, varianza e deviazione standard della distribuzione binomiale | Indice | Media, varianza e deviazione standard della distribuzione di Poisson > Anche la distribuzione di Poisson è discreta e si ottine come limite della distribuzione binomiale {$P(m,M;p)$} per {$M$} che tende ad infinito e per {$p$} che tende a zero, mantenendo il loro prodotto pari ad una costante: {$ \lim_{M \rightarrow \infty, p \rightarrow 0} Mp= \mu $} Siccome il valor medio della distribuzione binomiale è proprio {$Mp$}, ciò equivale a richiedere che la probabilità diventi molto piccola ed il numero di eventi possibili molto grande, mantenendo un valor medio finito. La derivazione della funzione distribuzione di probabilità (pdf) Poissoniana sotto queste ipotesi richiede alcuni passaggi matematici? e produce la seguente funzione discreta: {$ (1) \qquad \qquad P(m,\mu)=e^{-\mu}\, \frac{\mu^m}{m!} $} che ha valore per ogni n intero, da zero ad infinito. Questa funzione è normalizzata ad uno, come si conviene ad una pdf, in quanto la serie: {$ \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^m}{m!} = e^x $} è proprio la serie di MacLaurin della funzione esponenziale. Il modo più diretto per comprendere il significato della distribuzione di Poisson è forse quello di considerare un evento caratterizzato da una determinata tasso medio di accadimento nel tempo, molto minore di uno, ad esempio la caduta di una goccia di pioggia sul sensore di un tergicristallo automatico durante una pioggia molto rada. Supponiamo che sull'area sensibile del parabrezza cada una goccia ogni {$\tau$} secondi. Misuriamo quante gocce cadono in alcune ore. La tasso medio di gocce al secondo è {$1/\tau$}. È facile vedere che la probabilità che non cada nessuna goccia in un intervallo di tempo {$t$} è data da: {$ (2) \qquad \qquad P(t) = P_0 \, e^{-t/\tau} $} Infatti la probabilità che non cada nel successivo intervallino infinitesimo dt è: {$ (3) \qquad \qquad dP = -\frac{dt}{\tau}\, P(t) $} proporzionale alla probabilità che non sia ancora caduta , ma ridotta in proporzione al rapporto tra l'attesa {$dt$} ed il tempo medio per ricevere una goccia, {$\tau$}. L'equazione (1), integrata, dà proprio la (2), infatti si può riscrivere come {$\dot P = -P/\tau$}, la cui soluzione è l'esponenziale decrescente. L'equazione (2), poi, esprime il fatto semplice che la probabilità di non ricevere una goccia decresce esponenzialmente man mano che scorre il tempo. Quindi possiamo interpretare: {$ \frac{t}{1! \tau} e^{-t/\tau} $} come la probabilità di avere 1 goccia nel tempo t, {$ \frac{t^2}{2! \tau^2} e^{-t/\tau} $} come la probabilità di avere 2 gocce nel tempo t e infine {$ \frac{t^m}{m! \tau^m} e^{-t/\tau} $} come la probabilità di avere m gocce nel tempo t.
La Figura 1 illustra un caso in cui il vaolre di μ è piccolo e la distribuzione è fortemente asimmetrica, mentre la Figura 2 mostra che, per valori di μ grandi diventa simmetrica, come la binomiale.
Con l'espressione (1) è possibile calcolare il valor medio di m, ossia, nell'esempio delle gocce, in numero medio di gocce che si ottengono in un determinato tempo t. È inoltre possibile calcolare varianza e deviazione standard della Poissoniana. Altri esempi di eventi che seguono la distribuzione di Poisson, o Poissoniana sono:
La distribuzione di Poisson è presente nel toolbox statistico (stats) di Matlab e viene richiamata con il comando
Eseguire
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