Zeeman

che viene chiamata accoppiamento Zeeman. Come abbiamo già descritto qualitativamente, nel caso di shell chiuse (ad esempio gli atomi dei gas nobili, o gli alcalino-terrosi) il momento angolare totale è zero e si ha solo un comportamento diamagnetico, l'effetto Zeenam normale, spiegato classicamente. Viceversa in presenza di shell semipiene occorre calcolare il momento magnetico? nel modo descritto in precedenza.

Ricordiamo qui come. Gli operatori $L^2, S^2, J^2$ e $J_z$ commutano con ${\cal H}_0$, mentre $S_z$ e $L_z$ non commutano con ${\cal H}_0$. Inoltre il momento magnetico non è semplicemente proporzionale al momento angolare totale dal spin e momento angolare hanno fattori giromagnetici differenti, $g_S \mu_B/\hbar$ e $g_L \mu_B/\hbar$, rispettivamente. Occorre quindi calcolare la componente del momento magnetico lungo il campo proiettando prima ogni componente lungo $\mathbf J$ e poi lungo $\hat z$ $\mu_z= \frac e {2m_e} \frac {J_z}{J^2}(g_S \mathbf S \cdot \mathbf J + g_L \mathbf L \cdot \mathbf J)$, sfruttando le quantità

$$\cos \theta_S = \frac {\mathbf J\cdot\mathbf S}{|\mathbf J|\,|\mathbf S|},\quad \cos \theta_L = \frac {\mathbf J\cdot\mathbf L}{|\mathbf J|\,|\mathbf L|}$$

che nel modello vettoriale hanno proprio il significato di proiezioni dello spin e del momento orbitale lungo la direzione dei $\mathbf J$. Le proiezioni di ciascun momento angolare lungo la direzione del momento totale (bande azzurre) sono quindi date da $\mathbf J\cdot\mathbf S/|\mathbf J|$ e $\mathbf J\cdot\mathbf L/|\mathbf J|$, rispettivamente.

Secondo il modello vettoriale classico sia $\mathbf L$ che $\mathbf S$ precedono attorno a $\mathbf J$ conservando la loro lunghezza e la proiezione lungo $\mathbf J$, mentre anche quest'ultimo precede attorno al campo magnetico applicato, conservando lunghezza e proiezione $Jz$ lungo la direzione $\hat z$ del campo.