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NoteNuclei< Particelle indistinguibili | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Note Particelle > Nota: a partire dall'AA 2017-18 gli studenti della coorte (la 2015-16 per prima) non avranno in curriculum il corso introduttivo di Fisica III. Occorrerà organizzare una densità di lezioni variabile con Introduzione alla Meccanica Quantistica per fornire i concetti fino ad allora forniti in Fisica III. Schema lezioni
Riferimenti per singoli argomenti Riferimenti: Fowler Riferimenti Nucleosintesi: lo schema generale in http://en.wikipedia.org/wiki/Nucleosynthesis http://en.wikipedia.org/wiki/Big_Bang_nucleosynthesis http://en.wikipedia.org/wiki/Stellar_nucleosynthesis http://en.wikipedia.org/wiki/Supernova_nucleosynthesis v. anche w nucleosynthesis E_\gamma Esercizio 5 II settimana: Discutere che l'evento {$\gamma + ^{14}\mbox{N} \rightarrow ^{13}\mbox{C} + ^1\mbox{H}$} non è possibile con protoni uscenti da 5.2 MeV. Calcoliamo {$Q= (^{14}\mbox{m}-^{13}\mbox{m}-^1\mbox{m})c^2 = (14.003-13.003-1.007) u \approx - 6.5$} MeV, negativo, ovvero {$-\epsilon=^1K-Q=-1.2$} MeV , con {$^1p=\sqrt{2\,^1\mbox{m}\,^1K}=99.7$} MeV/c. Per la conservazione del momento: {$$\begin{align} ^{13}p_x&=p_\gamma - ^1p_x\\ ^{13}p_y&=-^1p_y\end{align}$$} Dalle definizioni {$^1p=^1p_x^2+^1p_y^2=2\,^1\mbox{m}^1K$} e {$^{13}p^2=^{13}p_x^2+^{13}p_y^2=2\,^{13}\mbox{m}^{13}K$}. Il parametro d'urto determina {$\theta$}, l'angolo tra il momento del protone e il momento iniziale del {$\gamma$}, ossia {$\cos\theta=^1p_x/^1p$}. Con queste relazioni si ricava {$$\begin{align}p_\gamma c & = -Q + ^1K +^{13}K \\ p_\gamma^2 - 2 p_\gamma\sqrt{2\,^1\mbox{m}^1K}\cos\theta &= 2(^{13}\mbox{m}^{13}K - ^1\mbox{m}^1K)\end{align}$$} Nel caso generale conviene porre {$p=^1p$} e {$m=^{13}\mbox{m}$}, per cui l'equazione per il momento del fotone diventa {$$p_\gamma^2 -2(mc+ p\cos\theta)p_\gamma -2 m\epsilon + p^2=0$$} Le soluzioni per l'energia del fotone sono {$p_\gamma c=mc^2[1+p\cos\theta/mc\pm(1+2\epsilon/mc^2 +2 p\cos\theta/mc - p^2\sin^2\theta/m^2c^2)^{1/2}]$}, e sono entrambe non fisiche. Quella col segno meno è negativa (infatti {$p_\gamma c\approx p^2\sin^2\theta/2m-\epsilon<0$}, dato che {$p^2\sin^2\theta/m=0.41$} MeV) e quella col segno più fornisce sempre un valore dell'ordine di due volte la massa invariante del carbonio (26 GeV). III.2 La vita media dello stato eccitato di {$^{57}\mbox{Fe}$} prodotto dall'assorbimento del γ da {$E_\gamma\approx 14.4$} keV emesso dalla sorgente di {$^{57}\mbox{Co}$} è {$\tau\approx 100 ns$}. Stimare la corrispondente larghezza della risonanza, {$\Delta E_0$}, Calcolare la velocità media {$\overline v$} di un'atomo di {$^{57}\mbox{Fe}$} in un gas a T ambiente. Stimarne la [larghezza della] distribuzione in energia {$\Delta E$} e discutere confrontandola con la larghezza della risonanza. Rifare il confronto con {$^{57}m\rightarrow \infty$}, condizione che corrisponde ad un atomo solidale con il cristallo (riga a zero fononi). Un fotone γ con quella vita media ha una indeterminazione in energia pari a {$\Delta E_0 = h/\tau\approx 4\,10^{-8}$} eV. Ossia, per essere assorbito da un nucleo di 57Fe la radiazione deve avere l'energia di {$E^\prime_\gamma\approx Q=(^{17m}m -m)c^2$} con la precisione di {$\Delta E_0$}, ossia una precisione relativa di {$\Delta E_0/Q\approx 3\,10^{-12}$}. Viceversa dalla cinetica dei gas un atomo di 57Fe di massa {$m=56.9353940(7) u\approx 9.43\,10^{-26}$} kg a {$=300$} K ha un'energia cinetica media pari a {$\overline E = \sqrt{3mk_B T}\approx 4\, 10^{-2}$} eV La distribuzione dei moduli delle velocità è la distribuzione di Maxwell Boltzmann, da cui deriva quella dell'energia. La larghezza di questa distribuzione è grossolanamente {$\Delta E \approx \overline E\approx 4\, 10^{-2}$} eV. Anche in un solido l'ordine di grandezza di {$\Delta E$} è simile (per equipartizione dipende dal numero di gradi di libertà). Per chiarire il concetto eseguiamo un calcolo accessorio. Consideriamo un nucleo emettitore che decade da fermo. Per il nucleo il regime è completamente non relativistico, come si può facilmente controllare. La conservazione dell'energia nel decadimento del nucleo eccitato di 57Fe, a sua volta dovuto al decadimento del 57Co per cattura K nella sorgente, richiede che il {$Q$} della reazione sia pari al {$E_\gamma+p^2/2m$}. Imponendo la conservazione del momento, {$p=E_\gamma/c$} e sviluppando il determinante della soluzione al second'ordine in {$2Q/mc^2$} si ottiene {$$ E_\gamma \approx Q\left(1 - \frac Q {mc^2}\right)$$} ossia la deviazione relativa {$E_\gamma/Q -1=-R=-Q/mc^2 \approx 3\, 10^{-7}$}. Se si rifà lo stesso conto per l'assorbimento del γ da parte del nucleo di 57Fe partendo per semplicità da un nucleo in quiete, si ottiene {$E_\gamma/Q -1=+R$}. Traiamo le conclusioni: La probabilità che questo doppio evento possa avvenire da nuclei emettitori ed assorbitori entrambi in quiete dipende dalla sovrapposizione tra due distribuzioni strettissime, di larghezza relativa {$\Delta E_0/Q\approx 10^{-12} $}, centrate rispettivamente in {$\pm R = \pm 3\,10^{-7}$}. In realtà non occorre calcolare {$R$}, basta rendersi conto che la cinematica impone condizioni differenti in emissioe e assorbimento. Se il nucleo di partenza in entrambi i casi non è in quiete, siccome emissione e assorbimento sono cinematicamente scorrelati, invece che centrate in {$\pm R$} considiamole centrate in valori estratti da due distribuzioni di energie cinetiche di larghezza relativa {$\Delta E/Q= 3\,10^{-6}$}. La probabilità che l'energia {$E_\gamma$} emessa sia pari all'energia {$E^\prime_\gamma$} richiesta per l'assorbimento è praticamente nulla. Se la massa dell'atomo appare infinita (grazie al rinculo collettivo del cristallo), il processo avviene senza rinculo nucleare, per {$R=0$} e quindi la sovrapposizione tra spettro di emissione e spettro di assorbimento è massima. Mostrare che la legge di dilatazione omogenea di Hubble, che impone velocità {$v$} di recessione proporzionali alla distanza propria tra qualunque coppia di punti è l'unica consistente con uno spazio omogeneo. Un punto qualunque e due distinte origini identificano un piano qualunque nello spazio Euclideo. È facile vedere che se il piano qualunque si dilata omogeneamente con velocità {$v=H_0 d$}, le distanze tra qualunque coppia di punti si dilatano con velocità {$v$}. In particolare consideriamo due punti 1 e 2. Ciascuno può essere considerato origine di un sistema di riferimento. Se un punto generico è identificato dal vettore {$ \mathbf{r}_i $} nel sistema di riferimento {$i$}-esimo, vale {$$ \mathbf{r}_1 = \mathbf{r}_2 + \mathbf{r}_{12}$$} Se le distanze da ciascun {$i$} si espandono con la legge {$$\begin{equation}|\mathbf{r}_{i}(t)|= r_{i}(t_0)| [ 1 + H_0 (t-t_0) ]\end{equation}$$}, ossia la velocità di recesso vale {$v=H_0 r_i$} per ogni punto del piano, a riprova della omogeneità dell'espansione continua a valere il teorema del coseno. Ciò mostra infatti che anche le distanze tra le origini obbediscono alla medesima legge, ossia se {$$\begin{equation}r_{12}(t_0)=\sqrt{r_1^2(t_0)+r_2^2(t_0)-2r_1(t_0)r_2(t_0)\cos\theta}\end{equation}$$} sostituendo l'Eq. (5) nell Eq. (6), continua a valere {$$ r_{12}(t) = [1+H_0 (t-t_0)] r_{12}(t_0)$$} a patto che {$\theta $} resti costante nel tempo. Se si prova a sostituire viceversa una legge {$$\begin{equation}|\mathbf{r}_{i}(t)|= r_{i}(t_0)| [ 1 + H_0 (t-t_0)r_{i}^{n-1}(t_0) ]\end{equation}$$}, con {$n\neq 1$}, non vale più l'equivalente dell'Eq. (7) per la distanza tra 1 e 2. Queste medesime proprietà (coerenza della legge lineare e inconsistenza della legge a potenza), valgono anche per spazi con curvatura non nulla, ma è meno elementare mostrarlo. Vecchia versione Gas di fermi Calcoliamo l'energia di Fermi {$\epsilon_F$}, ossia la differenza tra il fondo della buca e il massimo livello occupato. Occorre ottenere il vettor d'onda del massimo livello occupato, in base alla separazione tra i livelli e al numero totale di nucleoni, {$A$}. I livelli corrispondono alle armoniche di una lunghezza d'onda fondamentale che si ottiene dalle dimensioni lineari {$L=V^{-1/3}$} del nucleo, che è una sfera di volume {$V=4\pi/3\, R^3=4\pi/3\, Aa^3$}. In una dimensione la separazione tra le armoniche coincide con il vettor d'onda fondamentale, {$\Delta k= k_0=\pi/L$}. Questo significa che in tre dimensioni occorre considerare tutti i vettori d'onda {$\mathbf {k} = \Delta k (n_x \hat{x}+n_y \hat{y}+n_z \hat{z})$} con {$n_{x,y,z}$} interi positivi. Per contare gli stati conviene introdurre una densità di stati che corrisponde a 2 stati (spin su e spin giù) ogni volumetto {$\Delta k^3$}, ossia {$\rho_k=2V/\pi^3$}. A questo punto si tratta solo di imporre che l'ottante {$n_{x,y,z}>0 $} della sfera di raggio {$k_F$} contenga esattamente {$A$} stati, tutti occupati: {$$A=\rho_k \frac 1 8 \frac{4\pi} 3 k_F^3= 2 \frac{V} {\pi^3} \frac 1 8 \frac{4\pi} 3 k_F^3$$} Da questa uguaglianza segue che il vettore di Fermi si può esprimere nei termini della densità di nucleoni {$n=A/V=3/{4\pi a^3}$} come {$$ k_F= ({3\pi^2 n})^{\frac 1 3} $$} L'energia di Fermi è {$\epsilon_F=\hbar^2 k_F^2/2m$}. Sostituendo il valore del vettore di Fermi si trova: {$$ \epsilon_F=\frac{\hbar^2} {2ma^2}\left( \frac {9\pi} 4 \right)^{\frac 2 3} = \frac{3.7}{2\, 1.7\, 1.2}10^{-68+27+30}=0.94\,10^{-11}~\mbox{J}\approx 59 \mbox{MeV}$$} FAQ Accoppiamento L-S nucleare È jj coupling? A. Dovrebbe essere, perchè l'accoppiamento nucleare è forte. Ma la figura riportata usualmente mostra livelli di singolo elettrone che NON corrispondono ai termini jj. Corrisponde al solo effetto dello spin, attraverso l'accoppiamento L-S, su un nucleone. E' come se si stimasse la successione dei livelli di un atomo a molti elettroni e la loro molteplicità sulla base degli stati eccitati dell'atomo d'idrogeno. Schizzo di un conto più preciso: ad esempio 2 nucleoni p hanno molteplicità totale 3x2x3x2=36 stati. L'accoppiamento jj dà due j=3/2 e due j=1/2, che, sommati in tutti i modi, danno (tra parentesi la molteplicità) 3/2+3/2: S(1),P(3),D(5),F(7), in totale 16 stati; 3/2+1/2 e 1/2+3/2: due serie P(3),D(5), in totale 16 stati; infine 1/2+1/2: S(1),P(3), in totale 4 stati. Sono tutti compatibili con antisimmetria? Siccome la funzione spaziale antisimmetrica sarebbe nulla, occorrerebbe selezionare gli stati antisimmetrici di spin, ma sembra che servano tutti. La parità non conta; nell'esempio sono tutte funzioni pari, prodotto di funzioni dispari (l=1). Qual è lo stato fondamentale e corrisponde ad es. al p 3/2 della tabella? 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