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ParticelleIndistinguibili

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Tentativo di ordinare un flusso logico degli argomenti:

• Le particelle quantistiche sono indistinguibili per via del principio di indeterminazione. Mentre due particelle identiche classiche sono distinte dalle due traiettorie che si possono seguire in modo indefinitamente preciso, due particelle quantistiche a corta distanza perdono la loro identità perchè non si può conoscerne contemporaneamente momento e posizione, indispensabili per ricostruire la traiettoria ( per una particella rappresentata ad esempio da un pacchetto d'onda esiste un analogo della traiettoria classica, ma soggiace al principio di indeterminazione)

1. Il teorema spin-statistica stabilisce che particelle elementari a spin semi-intero (fermioni) debbono avere una funzione d'onda complessivamente antisimmetrica, ossia ad esempio la funzione d'onda di due fermioni deve cambiare di segno per scambio delle coordinate delle particelle. Stabilisce che invece che particelle elementari a spin intero (bosoni) devono avere funzione d'onda complessivamente simmetrica.

• Il teorema spin-statistica vale anche per oggetti composti (vedi nucleoni, nuclei, atomi, molecole, addirittura coppie di elettroni nei superconduttori - le coppie di Cooper).

2. Dall'antisimmetria per i fermioni scende il principio di esclusione di Pauli. Nel limite di particelle non interagenti entro un certo volume tutte le particelle condividono i medesimi livelli energetici e ciascun livello può essere occupato da nessuna o una particella al più.

• Per una particella libera l'energia non dipende dallo spin e la funzione d'onda è fattorizzata in una parte spaziale ed una di spin.

3. Il prodotto è antisimmetrico se uno dei due fattori è antisimmetrico e l'altro simmetrico: quindi un fermione libero deve avere
   • una funzione spaziale simmetrica {$\phi_a(\mathbf{r}_1)\phi_b(\mathbf{r}_2)+\phi_a(\mathbf{r}_2)\phi_b(\mathbf{r}_1)$} moltiplicata per una di spin antisimmetrica (singoletto, c'è un solo modo di realizzarla, {$(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle)/\sqrt 2$}),
   • oppure una funzione spaziale antisimmetrica {$\phi_a(\mathbf{r}_1)\phi_b(\mathbf{r}_2)-\phi_a(\mathbf{r}_2)\phi_b(\mathbf{r}_1)$} moltiplicata per una di spin simmetrica (e di queste combinazioni ce ne sono tre che hanno differenti proiezioni dello spin totale lungo l'asse z,{$|\uparrow\uparrow\rangle$}, {$(|\uparrow\downarrow\rangle+|\downarrow\uparrow\rangle)/\sqrt 2$} oppure {$|\downarrow\downarrow\rangle$})

• Il principio di Pauli vale anche per gli stati legati, laddove sia corretto considerare le diverse particelle legate come non interagenti in qualche approssimazione.
• Di solito questo significa che non si parla più di particelle nude, ma di cosiddette quasi-particelle, ossia all'interno di un sistema interagente si stanno riconoscendo entità nuove, che si comportano come quasi come particelle libere (ma ovviamente non hanno le stesse proprietà delle particelle nude, ad esempio la loro massa cambia). L'esempio più immediato sono i nucleoni, che sono aggregazioni di quark, le vere particelle elementari della teoria. Altri esempi sono gli elettroni nei metalli. Ma il teorema spin-statistica vale anche per oggetti composti, quindi anche per le quasi-particelle.
• In uno stato legato con potenziale centrale l'equazione di Schroedinger non relativistica (esempio atomo), separando la parte radiale dalla parte angolare della funzione d'onda, si genera un termine cosiddetto centrifugo. Esso è repulsivo, varia come {$r^{-2}$} ed è proporzionale ad {$L^2$}. Quindi in genere l'energia degli stati legati in un potenziale centrale dipende dal momento angolare. Questo è accidentalmente non più vero per il potenziale Coulombiano puro, {$V_c(r)\propto r^{-1}$}.
• Per stati legati da un potenziale centrale le opportune quasi-particelle fermioniche (ad esempio i nucleoni, spin {$1/2$}) devono quindi avere una funzione d'onda complessivamente antisimmetrica. Entro queste approssimazioni essa si può fattorizzare in parte spaziale (che conserva il momento angolare, ossia è un autostato simultaneamente di {$L^2,L_z$}) e parte di spin. Quindi spaziale simmetrica, singoletto, oppure spaziale antisimmetrica, tripletto.
• Se ora si introduce una interazione tra spin ed orbita che ha necessariamente una dipendenza da {$\mathbf{r}$}, ne risulta che il momento angolare orbitale non è più conservato. Se il potenziale totale è ancora centrale si conserva il momento angolare totale {$\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$}, ossia quantisticamente sono osservabili contemporaneamente {$J^2, J_z$}.
• Tipicamente l'interazione spin-orbita è della forma {$V_{SL}(r)\, \mathbf{L}\cdot\mathbf{S}$}. Notare che il prodotto scalare è invariante per rotazione, il che garantisce che l'interazione resti centrale (nel potenziale nucleare e negli atomi a motli elettroni ci sono in generale deviazioni da questa condizione).
• Dubbio: l'interazione spin-orbita non commuta con il momento orbitale. Commuta con l'energia cinetica? Se commutasse, gli autostati avrebbero gli stessi numeri quantici che senza spin-orbita, e in più lo spin, quindi si potrebbero fattorizzare ancora come sopra. Se non commutasse non si potrebbe più fattorizzare e resterebbe solo l'antisimmetria globale, ma non si potrebbe più parlare di tripletto e singoletto. Deve commmutare, ma non vedo bene come.
• Nell'approssimazione in cui spin-orbita commuta, esaminiamo gli stati di due nucleoni.
  • Lo stato fondamentale 1s 1s di singoletto di isospin è IL deutone: è composto da un neutrone e un protone in uno stato coerente antisimmetrico (n p-p n)/sqrt(2). Deve essere tripletto di spin e anche simmetrico spazialmente (le due funzioni d'onda sono le stesse e lo stato spazialmente antisimmetrico è identicamente nullo).
  • Lo stato 1s 1s di tripletto di isospin (n p+p n)/sqrt(2) è uno stato eccitato instabile del deutone. Deve essere singoletto di spin per le ragioni di cui sopra.
  • Gli altri due stati di tripletto sono p p , diprotone, eccitato e altamente instabile (2He, è stato osservato) e n n, dineutrone, anch'esso eccitato ed altamente instabile, mai osservato
  • Per stati eccitati con componenti spaziali diverse, ad es 1s e 1p, esistono in principio stati antisimmetrici in tutte e tre le componenti, spaziale, spin, isospin (grande eccitazione, sicuramente mai visti)

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