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InterazioniDeboli< L'elettrodinamica quantistica (QED) | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Violazione della parità e MuSR > Le interazioni responsabili del decadimento β (e anche del decadimento del pione carico) sono di una natura diversa sia dalle interazioni elettromagnetiche descritte dalla QED e mediate dei fotoni, sia dalle interazione nucleari forti. Non possono quindi essere descritte dalla QED, ossia non basta il campo elettromagnetico. Nel 1934 Enrico Fermi propose la forma funzionale di questa interazione, un primo grande risultato. Tra i pochi a dominare il nuovo formalismo di Dirac, Fermi lo sfruttò includendo l'ipotesi di Pauli (1932) del neutrino per giustificare lo spettro continuo del decadimento β. Utilizzò il rasoio di Occam (introsse cioè le minime ipotesi fisiche generali) per predire correttamente quali nuclei decadono prevalentemente β (transizioni permesse) e quali con probabilità molto bassa (transizioni proibilte). Giustificò così il rapporto tra le loro vite medie sulla base di un'unica costante di accoppiamento che potè quindi valutare quantitativamente. Determinò così la forma della più semplice interazione debole che giustifica i dati sperimentali, un'opera degna di Newton (gravità) e Coulomb (campi elettrici). La descrizione di Fermi è affine alla descrizione delle transizioni ottiche degli atomi. Considera l'emissione di elettrone e neutrino, con il passaggio dallo stato eccitato del nucleo con un neutrone in più ed un protone in meno ad uno stato di più bassa energia, con un neutrone in meno ed un protone in più, affine all'emissione di un fotone da parte di un atomo che passa da un livello energetico superiore ad uno inferiore. Fermi trascura (consapevolmente) altri possibili contributi all'interazione, poco rilevanti alle energie (decine di MeV) dei decadimenti β. Il passo successivo concentrò per decenni i fisici nel tentativo di comprendere le interazioni forti e portò alla formulazione della cromodinamica quantistica (QCD) che vedremo in seguito. Ma nel 1973 un nuovo esperimento al CERN con la camera a bolle Gargamelle, mise in luce che a più alte energie l'interazione di Fermi è più complessa e deve corrispondere anche allo scambio di particelle neutre dotate di massa. Questo fu il primo passo per riconoscere che esistono mediatori massivi nelle interazioni deboli. La teoria che li accomodò è quella di Glashow Weinberg e Salam, che unifica elettromagnetismo ed interazioni deboli. Descriviamo ora l'approccio di Fermi del 1934. L'articolo venne pubblicato in italiano sul Nuovo Cimento e poi sottoposto a Nature, che lo rifiutò. Venne quindi pubblicato in tedesco su Zeitschrieft Für Physik. Ne esiste una versione libera tradotta in inglese da Fred Wilson per Physical Review, ripresa più sinteticamente su Wikipedia. Qui ci limitiamo al suo contenuto fisico, evitando il formalismo. Fermi considera di fatto la reazione {$n\leftrightarrow p^+ + e^- + \nu$} (come Fermi, ignoriamo il sapore del neutrino), e tratta i nucleoni spettatori come un dettaglio trascurabile (o discutibile separatamente). Nel caso delle transizioni ottiche la probabilità di transizione è calcolata con la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo e risulta proporzionale al modulo quadro dell'elemento di matrice dell'interazione tra stato iniziale e stato finale (è la cosiddetta regola d'oro di Fermi). Per le transizioni ottiche il termine principale è dovuto al dipolo elettrico. Per il decadimento β è questo elemento di matrice che Fermi propone di derivare, considerando lo stato iniziale, 1 neutrone, 0 elettroni, 0 protoni, 0 neutrini, e lo stato finale, 0 neutroni, 1 protone, 1 elettrone e 1 neutrino. Nella approzzimazione più brutale, che contiene la fisica essenziale, Fermi suppone che
Questo semplifica ulteriormente la scrittura dell'interazione, che riduce il calcolo del tasso di decadimento a {$$ \frac 1 \tau = 1.75\, 10^{95} g^2 \left|\int v^* u d\mathbf r\right|^2 F(\eta_0)$$} espressa in Hz, in cui abbiamo visto al punto 2 che {$|\int v^* u d\mathbf r|^2\approx 1$}, il momento massimo dell'elettrone emesso è {$p_0= m\beta_0\gamma_0 c\equiv \eta_0 mc$}, con {$\beta_0=v0/c, \gamma_0=1/\sqrt{1-\beta_0}$}. Infine {$F$} è una funzione che Fermi calcola per mezzo della funzione d'onda s dell'idrogeno (vedi punto 6) e può tabulare per i nuclei di interesse. Confronto con i dati sperimentali e valore della costante g. Fermi calcola i valori di {$F(\eta_0)$} riportati nella Fig. 2, al variare del momento dell'elettrone, {$\eta_0 mc$} utilizzando la funzione d'onda s per {$Z\approx 82$}. Dai valori di Q I nuclei per i quali ha valori affidabili delle vite medie β hanno Q noti, da cui si può ricavare il massimo valore del momento per l'elettrone (v. esercizio 2.5). Nella Tabella I si vede il confronto con i dati sperimentali.
Il confronto più significativo è tra la penultima e l'ultima colonna. Invece che mostrare il confronto diretto della previsione con il valore sperimentale della vita media (penultima colonna), Fermi mostra il prodotto di questa per la funzione che determina nucleo per nucleo la previsione teorica di {$1/\tau$}. Questo prodotto deve essere costante, entro una incertezza piuttosto grande, per tutte le transizioni permesse e molto maggiore per tutte le transizioni proibite, non note a priori (vedi punto 2). Si vedono chiaramente due gruppi di nuclidi. I primi elencati in tabella hanno valori bassi di {$\tau F$}, ossia sono transizioni permesse, gli ultimi quattro hanno valori molto maggiori e sono proibite (è probabile che siano permesse dai termini assiali che Fermi non considera). Infine per ottenere l'accordo migliore tra i primi cinque dati e la sua predizione Fermi aggiusta il valore di g, ottenendo {$$g=4 \, 10^{-63} \mbox{m}^3\mbox{J}$$} Tornando all'analoga tra interazione di Fermi ed elettrostatica, Fermi valuta correttamente che sono possibili per simmetria anche interazioni di tipo magnetico, ossia che contengono un vettore assiale come il campo magnetico. Darebbero luogo ad una funzione {$G(\eta_0)\ne F(\eta_0)$}, ma sono più piccole di un fattore {$v/c$} dove {$v$} è la velocità non relativistica dei nucleoni. Le componenti della parte scalare e di quella assiale si posso scrivere come combinazioni dei prodotti delle quattro funzioni d'onda che formano i doppio spinore di Dirac dell'elettrone con quelle del neutrino. Esperimenti a più alta energia hanno poi messo in luce che termini di questo tipo esistono (e danno conto della mancanza di simmetria centrale del potenziale nucleare che abbiamo visto in precendeza). Un ultimo commento: come si vede dalla Figura 2 la probabilità di interazione cresce molto rapidamente con l'energia e, se gli ingredienti fossero solo quelli considerati da Fermi divergerebbe. Occorre pensare a questo modello come una approssimazione valida solo a basse energie. A energie maggiori l'interazione tra le quattro particelle deve aprirsi, dando luogo a due interazioni a tre particelle, di cui una emessa dalla prima coppia e riassorbita dalla seconda, come vedremo sotto. In meccanica classica una quantità è conservata quando la sua derivata rispetto al tempo è nulla. Per il momento lineare le equazioni di Newton stabiliscono che ciò avviene ogniqualvolta le forze esterne che agiscono sul sistema in esame hanno risultante nulla. Il teorema di Emma Noether stabilisce inoltre che le simmetrie continue generano leggi di conservazione. In particolare il momento lineare è conservato quando c'è simmetria per qualunque traslazione continua, come avviene nel caso in cui non ci sono forze esterne nello spazio isotropo. In pratica la conservazione di una quantità significa che, dati due istanti qualunque, un prima e un dopo, la quantità in esame è la stessa prima e dopo. Di solito ciò si valuta prima (1) e dopo (2) un evento che rispetta la simmetria-conservazione, ad esempio imponendo che in un urto tra due parti del sistema, in cui intervengono solo forze interne, si abbia per il momento lineare totale {$\mathbf{P}$}: {$$ \mathbf{P}_1 = \mathbf{P}_2$$} Per via del teorema di Noether questa affermazione è equivalente a dire che applicando qualunque traslazione {$T$} del sistema originale si genera un evento equivalente, ugualmente possibile. Il sistema all'istante 1, traslato, genera un urto che produce all'istante 2 il sistema nel suo stato 2, traslato. L'evento traslato nello spazio è ugualmente possibile per le leggi della fisica. Stabilita la relazione tra simmetria e conservazione, le due affermazioni, la conservazione della quantità considerata e l' esistenza dello stato ottenuto attraverso l'operazione di simmetria corrispondente, sono equivalenti. Allo stesso modo la non conservazione della quantità considerata equivale alla predizione che la situazione ottenuta applicando la simmetria ad una data situazione fisica non si può realizzare. L'esempio che si utilizza anche classicamente è la simmetria per inversione temporale, che vale per un sistema meccanico, ma, per ragioni sottili, non vale generalmente per un sistema fisico macroscopico descritto dall'usuale termodinamica. Abbamo imparato a considerare equivalenti la non conservazione dell'energia meccanica, ossia l'esistenza di un calore, con il fatto che il filmato di un vaso che si infrange al suolo, proiettato a ritroso descrive un evento che non si realizza in natura (viola il II principio della termodinamica). In questo senso la violazione della parità si potrebbe descrivere studiando una particella instabile di parità definita e la parità della funzione d'onda dello stato che si ottiene dal suo decadimento, per vedere se si conserva. È più semplice invece considerare se, dato un certo evento di decadimento, {$\pi^{+}\rightarrow \mu^{+} + \nu_\mu$}, l'evento corrispondente a {$P(\pi^{+})\rightarrow P(\mu^{+}) + P(\nu_\mu)$} può avere luogo. Particelle senza massa hanno elicità definita, la proiezione dello spin nella direzione del momento ({$\pm 1$}). Per particelle massive questa proprietà dipende dal sistema di riferimento. Viceversa la chiralità (handedness) non dipende dal sistema di riferimento. L'operatore di elicità è definita {$\boldsymbol{J}\cdot\hat{p}=\frac 1 2 \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{p}$}. L'operatore chiralità è definito dal suo proiettore che si basa sulla matrice {$\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$} e che risulta essere {$$\gamma^5=\begin{bmatrix}{\mathbb O}&{\mathbb I}\\{\mathbb I}& {\mathbb O}\end{bmatrix}$$} Gli autostati dei proiettori sono stati a chiralità definita {$$\frac {1\pm\gamma^5} 2 \begin{bmatrix}\psi_1\\ \psi_2 \\ \psi_3 \\ \psi_4 \end{bmatrix} = \frac 1 2 \begin{bmatrix}\psi_1 \pm \psi_3\\ \psi_2 \pm \psi_4 \\ \psi_3 \pm \psi_1\\ \psi_4 \pm \psi_2 \end{bmatrix} $$} L'Hamiltoniana dell'interazione debole non commuta con la parità, ovvero la parità non è conservata in eventi in cui è coinvolta l'interazione debole. T.D. Lee e C.N Yang lo ipotizzarono negli anni cinquanta, sulla base delle simmetrie dell'interazione di Fermi, ma stentarono a imporsi alla comunità scientifica, finchè non convinsero Madame Chien-Shiung Wu, del National Bureau of Standard, a progettare e realizzare un complesso esperimento sul decadimento beta del 60Co (prodotto per irraggiameno neutronico del 59Co, vita media 7.6 anni). L'esperimento mostrò che in presenza di un campo magnetico, ossia di polarizzazione di spin della sorgente di 60Co, c'era un'asimmetria nella direzione dei γ emessi dal decadimento, e che l'asimmetria si invertiva di π radianti invertendo il campo magnetico. Contemporaneamente Garwin, Lederman e Weinberg mostrarono lo stesso effetto, forse più semplicemente, nel decadimento del muone. Lee e Yang ricevettero il premio Nobel nello stesso 1957 (a tutt'oggi il premi Nobel assegnato più rapidamente!). Nessuno sperimentale venne associato a questo onore. Nella prossima pagina spiegheremo il fenomeno misurato da Garwin, Ledermann e Weinrich. < L'elettrodinamica quantistica (QED) | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Violazione della parità e MuSR > |
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