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DeterminanteDiSlater< Metodo di Hartree, cenno ad Hartree-Fock. Cenno all'autoconsistenza, Thomas-Fermi e DFT | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Metodo di Hartee e Hartree-Fock > Immaginiamo di dover scrivere la funzione d'onda antisimmetrica di n elettroni che abbiano configurazione {${q_1,\sigma_1,q_2,\sigma_2,\cdots,q_n,\sigma_n}$} dove ciascun {$q_i$} rappresenta un opportuno insieme di numeri quantici che definiscono uno stato ad un elettrone, e {$\sigma_i$} il relativo spin. Consideriamo il determinante di questa matrice {$$\frac 1 {\sqrt{n!}} \, \begin{vmatrix} \psi_{q_1}(r_1)\chi(\sigma_1) & \psi_{q_2}(r_1)\chi(\sigma_2) & \cdots & \psi_{q_n}(r_1)\chi(\sigma_n) \\ \psi_{q_1}(r_2)\chi(\sigma_1) & \psi_{q_2}(r_2)\chi(\sigma_2) & \cdots & \psi_{q_n}(r_2)\chi(\sigma_n) \\ \vdots\\ \psi_{q_1}(r_n)\chi(\sigma_1) & \psi_{q_2}(r_n)\chi(\sigma_2) & \cdots & \psi_{q_n}(r_n)\chi(\sigma_n) \end{vmatrix} $$} ottenuta variando gli stati (i numeri quantici) lungo le colonne e le particelle (identificate dalla coordinata) lungo le righe. Questo è il determinante di Slater, che fornisce una combinazione lineare di funzioni ottenute scambiando tra di loro le particelle nell'occupazione degli stati della configurazione. Per le proprietà del determinante se la configurazione contiene due insiemi di numeri identici il risultato è nullo. Inoltre se si permutano due colonne il risultato cambia segno. Quindi la combinazione lineare descritta da questo determinante è una funzione d'onda antisimmetrica. La funzione antisimmetrica più generale si può ottenere come somma di determinanti di Slater. Vediamo ad esempio come ottenere lo stato di tripletto con massimo valore di {$m_S$} della configurazione 1s2s: {$$|1s\, 2s\, 1\, 1\rangle = \frac 1 {\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \psi_{1s\uparrow}(1) & \psi_{2s\uparrow}(1)\\ \psi_{1s\uparrow}(2) & \psi_{2s\uparrow}(2)\\ \end{vmatrix} = |\uparrow\,\uparrow\rangle\frac {\psi_{1s}(1)\psi_{2s}(2) - \psi_{1s}(2)\psi_{2s}(1)}{\sqrt 2 }$$} Il corrispondente tripletto con minimo valore di {$m_S$} è {$$|1s\, 2s\, 1\, -1\rangle=\frac 1 {\sqrt{2}} \begin{vmatrix} \psi_{1s\downarrow}(1) & \psi_{2s\downarrow}(1)\\ \psi_{1s\downarrow}(2) & \psi_{2s\downarrow}(2)\\ \end{vmatrix}= |\downarrow\,\downarrow\rangle\frac {\psi_{1s}(1)\psi_{2s}(2) - \psi_{1s}(2)\psi_{2s}(1)}{\sqrt 2}$$} mentre il singoletto ed il tripletto con {$m_S=0$} si torvano rispettivamente come {$$|1s\, 2s\, 0\, 0\rangle=\frac 1 2\left( \begin{vmatrix} \psi_{1s\uparrow}(1) & \psi_{2s\downarrow}(1)\\ \psi_{1s\uparrow}(2) & \psi_{2s\downarrow}(2)\\ \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} \psi_{1s\downarrow}(1) & \psi_{2s\uparrow}(1)\\ \psi_{1s\downarrow}(2) & \psi_{2s\uparrow}(2)\\ \end{vmatrix}\right)$$} e {$$|1s\, 2s\, 1\, 0\rangle=\frac 1 2\left( \begin{vmatrix} \psi_{1s\uparrow}(1) & \psi_{2s\downarrow}(1)\\ \psi_{1s\uparrow}(2) & \psi_{2s\downarrow}(2)\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \psi_{1s\downarrow}(1) & \psi_{2s\uparrow}(1)\\ \psi_{1s\downarrow}(2) & \psi_{2s\uparrow}(2)\\ \end{vmatrix}\right)$$} < Metodo di Hartree, cenno ad Hartree-Fock. Cenno all'autoconsistenza, Thomas-Fermi e DFT | IntroduzioneFisicaMateria.Indice | Metodo di Hartee e Hartree-Fock > |