|
PropagazioneDegliErroriCasiSemplici< Generalizzazione al caso di n grandezze misurate | Indice | Media pesata e sua incertezza > Applicazione della propagazione degli errori ad alcuni casi semplici Consideriamo ad esempio l'errore sulla media semplice di una serie dati che hanno incertezze diverse tra di loro. Supponiamo che i dati {$\{x_i\}$} abbiano ciascuno una diversa incertezza {$s_i$}. Se queste incertezze fossero molto diverse tra loro in realtà converrebbe applicare il concetto della media pesata, ma qui considereremo il caso in cui le differenze sono piccole. Per sfruttare le espressioni già derivate consideriamo gli {$N$} dati come altrettante variabili indipendenti e calcoliamo media come funzione di queste variabili: {$ \bar x(x_i) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i, $} che equivale all'operazione di somma del prodotto di ogni variabile con la costante ${1/N$}. Quindi in questo caso: {$ \frac{\partial \bar x}{\partial x_i} = \frac{1}{N} $} e, di conseguenza, si può calcolare la deviazione standard della media, dall'espressione (7) della pagina precedente come: {$ s_{\bar x} = \frac{1}{N} \sqrt{\sum_{i=1}^N s_i^2} $} L'espressione coincide con una somma in quadratura delle deviazioni standard divisa per {$N$}. ossia, per {$N$} grandi, con {$ \frac{1}{\sqrt N} s_x, $} dove si calcoli l'ultimo fattore direttamente come deviazione standard. Vedremo che questo risultato coincide con la stima? che si ottiene applicando il principio di massima verosimiglianza. In pratica, se abbiamo tre dati, {$x_1, x_2$} e {$x_3$} con diverse incertezze {$s_1, s_2$} e {$s_3$}, possiamo attribuire alla loro media l'incertezza: {$ s=\frac 1 3 \sqrt{s_1^2+s_2^2+s_3^2} $} Inoltre l'incertezza associata ad una semplice combinazione lineare di due misura, ad esempio {$ z=ax+by $} sarà, in base alla stessa espressione (7) della pagina precedente: {$ s_z=\sqrt{a^2s_x^2+b^2s_y^2} $} Questi esempi sono facili da calcolare direttamente in base all'espressione (7) citata sopra e non conviene insistere oltre. < Generalizzazione al caso di n grandezze misurate | Indice | Media pesata e sua incertezza > |