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FitPolinomialeGeneralizzato< Matrice di curvatura e matrice degli errori | Indice | Fit di una funzione non polinomiale con il metodo dei minimi quadrati > Fit polinomiale con polinomi generalizzati. Spesso il principale problema in una minimizzazione è dato da una cattiva scelta dei parametri per la legge da minimizzare. Facciamo un esempio con una parabola. La legge parabolica può essere espressa in questi due modi equivalenti: {$ y=a_2x^2+a_1x+a_0 $} oppure {$y=b_2(x-b_1)^2+b_0$} Dal punto di vista algebrico le due leggi sono identiche e si può facilmente trovare le relazioni che legano i coefficienti ai ai coefficienti bj . Siccome viceversa il fit è determinato anche dagli errori le due formulazioni non sono equivalenti. In un fit non lineare, come vedremo più avanti, la strada empirica per raggiungere il minimo potrebbe risultare più diretta con una formulazione che con l'altra. Nel caso polinomiale in esame c'è una formula esplicita per ottenere i coefficienti e potrebbe sembrare indifferente quale legge scegliere. In realtà il punto delicato è la inversione della matrice A, che comporta la divisione per il determinante della matrice stessa. Questo determinante potrebbe risultare molto piccolo e dare problemi numerici equivalenti alla divisione per zero. In parole più semplici anche nel fit lineare c'è un denominatore nell'espressione per i due parametri, Eq. (5), che potrebbe annullarsi o quasi. Si può intuire che questo denominatore si annulla se c'è correlazione forte tra due parametri del fit, ovvero se il sistema di equazioni lineari ha due equazioni quasi linearmente dipendenti. Il significato del termine quasi ha a che fare con il ruolo del rumore casuale: in assenza di rumore le equazioni non sono linearmente dipendenti, ma il rumore può attenuere le differenze tra due di loro. In questi casi è conveniente scegliere la legge che rende minime le correlazioni tra paramentri. In particolare si può ripetere la derivazione della minimizzazione del chi quadro sostituendo ai polinomi {$x^k$} dell' Eq. (1) opportune funzioni {$f_k(x)$} che soddisfino questo criterio. Siccome quel che conta è la linearità nei coefficienti {$a$} tutte le espressioni possono essere ricalcolate sostituendo {$ [f_k(x) f_l(x)] \qquad \mbox{al posto di}\qquad [x^{k+l}] \qquad \mbox{e} \qquad [f_k(x) y] \qquad\mbox{al posto di}\qquad [x^k y] $} Con questi elementi si costruisce la matrice di curvatura {$A$} e quindi la matrice degli errori {$\epsilon=A^{-1}$}; si ricavano quindi i valori dei parametri del miglior fit e i loro errori nel modo già esposto . Esistono molte scelte possibili per le funzioni {$f_k(x)$}, ma tutte debbono obbedire a condizioni di ortogonalità tra i polinomi scelti. Non procediamo oltre su questo argomento, rimandando a testi più approfonditi (ad esempio vedere mathworld e le referenze a cui rimanda). < Matrice di curvatura e matrice degli errori | Indice | Fit di una funzione non polinomiale con il metodo dei minimi quadrati > |