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< Fit di un polinomio con il metodo dei minimi quadrati | Indice | Matrice di curvatura e matrice degli errori >

Minimizzazione del χ² per il fit polinomiale

La richiesta che sia massima la probabilità di ottere dati sperimentali come quelli raccolti, supponendo che derivino da una legge polinomiale:

{$ (1)\qquad\qquad y=\sum_{k=0}^M a_k x^k. $}

in presenza di errori casuali di deviazione standard σ_i , conduce a minimizzare la funzione:

{$ (2)\qquad\qquad \chi^2=\sum_{i=1}^N \frac {(y_i-\sum_{k=1}^M a_kx_i^k)^2} {\sigma_i^2} $}

che dipende dagli M+1 parametri {$\{a_k\}$} del polinomio.

Fig. 1 Schizzo prospettica dell'ipersuperficie {$\chi^2=\chi^2(\{a_k\})$}; ovviamente se ne può rappresentare solo una proiezione nel sottospazio di soli due parametri. Questa funzione va quindi considerata come una ipersuperficie ad M+1 dimensioni, immersa in uno spazio ad M+2 dimensioni (la dimensione ulteriore è quella a valori unicamente positivi, lungo la quale si misura la funzione {$\chi^2$} stessa)

Per trovarne il minimo occorre imporre che le derivate parziali rispetto alle differenti coordinate (a ciascun parametro del polinomio) siano nulle:

{$ (3)\qquad\qquad \frac {\partial \chi^2} {\partial a_l} = - 2 \sum_i x_i^l \frac {(y_i-\sum_k a_kx_i^k)} {\sigma_i^2} = 0, $}

Si tratta di M+1 equazioni in altrettante incognite, i parametri {$\{a_l\}$} del polinomio. Si può estendere la notazione introdotta per il fit lineare ai due tipi di costanti che si riconoscono nell'Eq. (3):

{$ (4)\qquad\qquad [x^l y] = \sum_i \frac {x_i^l y_i}{\sigma_i^2}, \qquad\qquad \mbox{e} \qquad\qquad [x^{l+k} ] = \sum_i \frac {x_i^l x_i^k}{\sigma_i^2}. $}

In questo modo si può riscrivere il sistema di equazioni (3) come {$\left|\beta\rangle = A \left|\alpha\rangle$}, dove il {$\left|\beta\rangle$} è il vettore colonna:

{$ (5)\qquad\qquad \left|\beta\right\rangle = \left(\begin{array}[y])\\\vdots\\\([x^ly])\\\vdots\\\[x^My]\end{array}\right), $}

α> è il vettore colonna dei parametri {a_l} incogniti e la matrice A è data da:

{$ (6)\qquad\qquad A = (([1],...,[x^M]),(,...,),([x^M],...,[x^{2M}])) $}

La soluzione del sistema si ottiene facilmente attraverso la matrice inversa A^-1 (tale per cui A^-1 A = A A^-1 = I, con I pari all'identità), che fornisce immediatamente:

{$ (7)\qquad\qquad |\alpha\rangle = A^{-1} |\beta\rangle, $}

Con matlab è immediato ottenere la matrice inversa, dopo aver calcolato i valori delle costanti (4) ed aver composto con essi il vettore |β> e la matrice A secondo le Eq. (5) e (6). Basta infatti scrivere direttamente:

A^-1

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