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FitLineareMassimaVerosimiglianza

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Massima verosimiglianza applicata al fit lineare

Supponiamo di aver ottenuto i dati {$\{x_i,V_i\}$} della figura e di voler ottenere la miglior stima dei parametri della retta su cui presumibilmente giacciono (v. fit lineare)

Fig. 1 Una porzione variabile di un filo sottile conduttore di sezione uniforme A e resistività ρ è chiusa in un circuito di misura percorso da una corrente nota, {$I$}. La figura riporta la differenza di potenziale {$V$} tra due punti del circuito mostrato nell'inserto. Il contatto mobile misura {$V(x)$} ai capi di {$R$} e di un tratto di filo lungo {$x$}. L'errore sulla variabile indipendente, {$x$}, è trascurabile e mentre la fluttuazione verticale dei dati denuncia un errore sulla misura {$V(x)$}, valutato dalla barra d'errorepari a {$\sigma_V$}, uguale per tutti i punti.

Partiamo da una stima iniziale dei parametri {$a=IR$} e {$b=I\rho/A$}. della retta {$V(x)=a+bx$}. Indichiamo con {$a_0,b_0$} questi valori iniziali. Possiamo calcolare le deviazioni di ciascun dato da questa particolare retta, come:

{$ \Delta V_i = V_i - V_0(x_i) = V_i - b_0x_i - a_0. $}

Non esiste un metodo unico per ottenere la migliore scelta dei parametri {$a$} e {$b$}. Uno dei più diffusi, giustificabile con il principio di massima verosimiglianza viene ribattezzato Metodo dei minimi quadrati e ricalca le linee già seguite per valutare l'accordo tra distribuzione di misure ripetute e distribuzioni limite.

Come in quel caso consideriamo la probabilità di ottenere il valore {$V_i$} con deviazione standard {$\sigma_V$} in corrispondenza di {$x_i$}, assumendo che derivi da una distribuzione normale con pari deviazione standard attorno ad un ''valore vero {$V_0(x_i)$}:

{$ (1) \qquad\qquad P_i= \frac 1 {\sigma_V \sqrt{2 \pi}} \,\, e^{-\frac 1 2 [\frac {V_i-V_0(x_i)} {\sigma_V} ]^2. $}

La probabilità di ottenere le {$N$} coppie di valori sperimentali, indipendenti rta loro, è data dal prodotto di {$N$} fattori come la (2) e si può scrivere come:

{$ (2) \qquad\qquad P({V_i})= \frac 1 {(\sigma_V \sqrt{2 \pi})^N} \,\, e^ {-\frac 1 2 \sum_{i=1}^N [\frac {V_i-V_0(x_i)} {\sigma_V} ]^2. $}

Noi cerchiamo i valori dei parametri {$a$} e {$b$} che rendono massima la probabilità di trovare i valori sperimentali effettivamente misurati (questo è il principio di massima verosimiglianza già utilizzato in precedenza). La richiesta equivale a rendere minima la somma all'esponente nella (3), grazie al fatto che si tratta di una quantità definita positiva:

{$ (3) \qquad\qquad \chi^2 = \sum_{i=1}^N [\frac {V_i-V_0(x_i)} {\sigma_V} ]^2, $}

Per questa quantità da minimizzare si è scelto lo stesso nome che abbiamo utilizzato nel valutare la distribuzione limite appropriata (Eq. 2 di quella pagina) per una determinata serie di misure ripetute. In effetti si tratta di problemi analoghi, ossia in entrambi i casi occorre trovare, col criterio dei minimi scarti quadrati, i valori dei parametri che ottimizzano l'accordo tra dati sperimentali ed una certa forma analitica.

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