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MediaVarianzaBinomiale< Distribuzione binomiale | Indice | Distribuzione di Poisson > Calcolo di media, varianza e deviazione standard della binomiale La media della distribuzione binomiale {$P(m;M;p)$}, che con {$p=1/6$} rappresenta ad esempio il valor medio {$\langle m \rangle$} del numero di assi che si ottengono lanciando {$M$} dadi, è data in generale da: {$ (1) \qquad \qquad \langle m \rangle = \sum_{m=1}^M m P(m,M;p) = \sum _{m=1}^N \left(\begin{array} M\cr m\end{array}\right) m p^m (1-p)^{M-m} $} il cui risultato è: {$ (2) \qquad \qquad \langle m \rangle = Mp. $} Per ottenere questo risultato conviene derivare rispetto a {$p$} ambo i membri dell'identità: {$ \sum _{m=1}^M \left(\begin{array} M\cr m\end{array}\right) p^m (1-p)^{M-m}=1 $}, che fornisce la normalizzazione della distribuzione binomiale, come requisito di ogni distribuzione di probabilità. In questo modo si ottiene: {$ \sum _{m=1}^M \left(\begin{array} M\cr m\end{array}\right) m p^{m-1}(1-p)^{M-m} - \sum _{m=1}^M \left(\begin{array} M\cr m\end{array}\right) (M-m) p^m(1-p)^{M-m-1}=0, $} ovvero, isolando a primo membro le somme contenenti il fattore {$m$}: {$ (\frac 1 p + \frac 1 {1-p}) \sum _{m=1}^M \left(\begin{array} M\cr m\end{array}\right) m p^m(1-p)^{M-m} = \frac M {1-p} \sum _{m=1}^M \left(\begin{array} M\cr m\end{array}\right) p^m(1-p)^{M-m}. $} Siccome la somma al membro destro vale 1, si ottiene infine l'equazione (1). In modo del tutto analogo - derivando rispetto a {$p$} entrambi i membri del valor medio (1) - si ricava la seguente espressione per la varianza: {$ (3) \qquad \qquad \sigma^2=<m^2> - <m>^2 = Mp(1-p), $} e, di conseguenza, la deviazione standard della distribuzione binomiale vale: {$ (4) \qquad \qquad \sigma=\sqrt{Mp(1-p)} $} < Distribuzione binomiale | Indice | Distribuzione di Poisson > |