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DistribuzioneBinomiale< Media, varianza e deviazione standard di una distribuzione | Indice | Media, varianza e deviazione standard della distribuzione binomiale > La distribuzione binomiale {$P(m,M;p)$} è la distribuzione limite appropriata per descrivere il lancio di più dadi o più monete e qualunque altro tipo di evento composito i cui risultati distinti
Descriviamo in dettaglio l'esempio dei dadi. Immaginiamo di lanciare {$M$} dadi identici. Ciascuno di loro ha una probabilità {$p=1/6$} di fermarsi con una particolare delle sei facce verso l'alto, ad esempio l'asso (e una probabilità {$ q=5/6$} di fermarsi con una faccia diversa dall'asso). Siccome il risultato (la faccia superiore) di ciascun dado è indipendente dagli altri è chiaro che la probabilità di ottenere {$M$} assi sarà {$p^6$}. Viceversa la probabilità {$P(m,M;p)$} di ottenere {$0\lt m\lt M$} assi è un po' più complicata da calcolare e dà luogo alla distribuzione binomiale. Occorre infatti tener conto della molteplicitdi modi con i quali si può ottenere questo risultato, immaginando di ordinare {$M$} quadrati (i dadi) e di enumerare le disposizioni possibili degli {$m$} assi. Schematicamente {$P(m,M;p)$} sarà data dalla probabilità di ottenere {$m$} assi con {$m$} dadi, {$p^m$}, per la probabilità indipendente di non ottenere assi con i restanti {$M-m$} dadi, {$(1-p)^{M-m}$}, infine per in numero di combinazioni di {$M$} oggetti a {$m$} a {$m$}: {$ (1) \qquad \qquad P(m,M;p) = p^m (1-p)^{M-m} \frac {M!} {(M-m)! m!}= p^m (1-p)^{M-m} \left(\begin{array} M\cr m\end{array}\right) $} La distribuzione prende nome dal binomio di Newton che, per ogni coppia di numeri p e q, fornisce l'ennesima potenza della loro somma: {$ (2) \qquad \qquad (p+q)^n = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array} n\cr k\end{array}\right) p^k q^{n-k} $} Questa relazione per {$p+q=1$} (ossia {$q=1-p$}) mostra che la somma delle probabilità della distribuzione binomiale dà uno: {$ (3) \qquad \qquad 1=\sum_{m=0}^M P(m,M;p), $} La normalizazione ad uno è una condizione necessaria affinchè una funzione rappresenti una distribuzione di probabilità (l'altra condizione è essere definita positiva per ogni valore della variabile).
Per piccoli valori di M la funzione binomiale è altamente asimmetrica, come mostra la Figura 1, ma per grandi valori di M, come mostra la Figura 2, la curva diviene simmetrica.
Con l'espressione (1) è possibile calcolare il valor medio di m, ossia, nell'esempio dei dadi, in numero medio di Assi che si ottengono lanciando M dadi. È inoltre possibile calcolare varianza e deviazione standard della binomiale. Altri esempi che seguono la distribuzione binomiale P(m,M;p) sono il numero m di:
La distribuzione binomiale è presente nel tolbox statistico (stats) di Matlab e si invoca con il comando
Per ulteriori dettagli utilizzare
Per generare i fattoriali necessari a costruire la funzione si può utilizzare il comando
o meglio considerare che la funzione {$\Gamma$} di Riemann gode della proprietà che {$\Gamma(n+1)=n!$}, e che è disponibile in matlab attraverso il comando < Media, varianza e deviazione standard di una distribuzione | Indice | Media, varianza e deviazione standard della distribuzione binomiale > |
