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MediaVarianzaDeviazioneStandard< Distribuzioni di probabilità | Indice | Distribuzione binomiale > Data una distribuzione limite (pdf) discreta {$P(m)$} il valor medio della sua variabile è dato da: {$ (1) \qquad \qquad \langle n \rangle = \sum_n n P(n) $} come è facile intuire dalla definizione stessa di probabilità. Infatti per ottenere il numero medio di eventi viene naturale pesare ogni numero di accadimenti con la sua frequenza. L'espressione (1) discende esattamente da questa considerazione e dalla definizione empirica della probabilità come la frequenza di quel numero di accadimenti. L'estensione di questo condetto porta a definire il valor medio di qualunque funzione del numero di accadimenti {$m$}, {$f(m)$}: {$ (2) \qquad \qquad \langle f(n) \rangle = \sum_n f(n) P(n) $} ed in particolare della varianza della distribuzione: {$ (3) \qquad \qquad \sigma^2 = \langle (n -\langle n \rangle)^2 \rangle = \langle n^2 \rangle - \langle n \rangle^2 = \sum_n n^2 P(n) -\left[\sum_n n P(n)\right]^2 $} Da quest'ultima relazione discende la deviazione standard della distribuzione: {$ (4) \qquad \qquad \sigma = \sqrt{\sum_n n^2 P(n) -\left[\sum_n n P(n)\right]^2} $} Se la distribuzione {$P(x)$} è continua la definizione di valor medio diventa: {$ (5) \qquad \qquad \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x P(x) dx $} nella quale l'integrale va esteso all'intero dominio di {$P(x)$}, sche qui è supposto l'intero insieme dei reali. Di conseguenza si avrà che il valor medio di {$f(x)$} è dato da: {$ (6) \qquad \qquad \langle f(x) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) P(x) dx; $} in particolare della varianza della distribuzione: {$ (7) \qquad \qquad \sigma^2 = \langle (x -\langle x \rangle)^2 \rangle = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 P(x) dx - \left[\int_{-\infty}^{\infty} x P(x) dx\right]^2 $} ed infine, estraendo la radice della varianza si ottiene la deviazione standard. < Distribuzioni di probabilità | Indice | Distribuzione binomiale > |