L'onda sonora longitudinale è fatta da rarefazioni e compressioni che si propagano in una direzione, ad esempio con l'andamento armonico {$\sin(\omega t-kx)$}. Nella figura animata si vede invece dall'alto una rappreforniscesentazione di una onda impulsiva {$f(vt-x)$} che si propaga nella direzione {$x$} orizzontale. La quadrettatura in assenza dell'onda è uniforme. Quando passa il fronte d'onda si vedono le compressioni e le rarefazioni che esso comporta.

Ne faremo ora una descrizione considerando uno straterello sottile di gas tra due rette verticali adiacenti della figura. Le rette sono l'immagine di un piano di equifase dell'onda, vista da sopra. Supponiamo che l'area di una porzione di questo piano sia {$A$}.

(from Wikipedia)

Il disegno a destra è un ingrandimento fisso della animazione. Le due rette tratteggiate mostrano le posizioni di equilibrio dei due piani di equifase che definiscono lo straterello, in {$x$} e in {$x+dx$}. Le due rette continue mostrano le posizioni di questi piani al passaggio dell'onda, al tempo {$t$}. Sono spostate dalle posizioni di equilibrio della quantità {$y(x,t)$}, la prima, e {$y(x+dx,t)$}, la seconda. In questo caso lo spostamento {$y$} è uno dei modi di rappresentare la funzione d'onda. Ne troveremo altri due. Alla fine risulterà che per l'onda armonica vale proprio

{$$y(x,t) = Y\,\sin(\omega t -kx)$$}

Il proposito è di applicare a questo straterello la seconda legge di Newton: calcoliamo la massa dal volume (lo spessore mostrato in figura, per l'area {$A$} del fronte d'onda) e dalla densità, la componente {$x$} della forza dalla pressione per l'area {$A$}, e infine la componente {$x$} dell'accelerazione del piano direttamente come

{$$(1) \quad {\color{red}{a_x}} =\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}$$}

Consideriamo uno strato di gas all'equilibrio, tra le due superfici rappresentate dai segmenti tratteggiati. L'onda fa oscillare queste superfici con spostamenti {$y$} (fronti d'onda). Al tempo t i due fronti sono rappresentati dai segmenti continui.

Calcoliamo quindi subito il volume d'equilibrio e il volume dilatato dal passaggio dell'onda, come area {$A$} per la separazione tra i piani tracciati in figura. Il volume d'equilibrio, tra i piani tratteggiati, è semplicemente {$dV_0=Adx$} mentre per il volume dilatato {$dV$} occorre calcolare la separazione tra i piani a tratto solido, pari a {$x + dx + y(x+dx) - [x + y(x)]$}. In questa seconda espressione si può approssimare {$y(x+dx)$} come {$y(x)$} più la tangente {$dy/dx$} moltiplicata per lo spostamento {$dx$}. Tenendo conto che {$y$} dipende anche dal tempo, e quindi la tangente è la derivata parziale rispetto ad {$x$}, si ottiene

{$$dV_0 = Adx \quad \quad \quad dV = A(1 + \frac {\partial y}{\partial x})dx $$}

È utile definire di quanto varia il volumetto {$dV$} rispetto a quello a riposo. Se poniamo {$dV=dV_0 +\delta V$}, per confronto con la relazione qui sopra si ottiene che la variazione, pari alla differenza tra il volume con e senza onda, è {$\delta V= A \partial y/\partial x dx$}. Ne risulta che mentre passa l'onda la variazione relativa di volume è

{$$(2) \quad \frac {\delta V} {A dx} = \frac {\delta V}{dV_0} = \frac {\partial y}{\partial x} $$}

La variazione di volume {$\delta V$} risulterà essere molto più piccola del volumetto d'equilibrio, che possiamo trattare quindi come un volume finito.

Abbiamo visto che le trasformazioni veloci indotte dal suono sono adiabatiche e la relazione che lega la pressione al volume è data dal modulo di comprimibilità, che corrisponde a {$\kappa_S=-V\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_S$}. Applicheremo questa espressione al volumetto d'equilibrio dV₀ , scrivendo

{$$ \kappa_S = - dV_0 \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_S $$}

Per un gas ideale la pressione d'equilibrio è proporzionale al modulo di comprimibilità adiabatico, p₀ = κ_S/γ. La variazione di pressione {$\delta p(x)=p(x)-p_0$} rispetto alla pressione d'equilibrio al passaggio dell'onda si calcola come

{$$\delta p(x) = \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_S \delta V $$}

ossia, siccome la derivata parziale definisce la comprimibilità e l'equazione all'inizio della sezione mostra che è uguale a - κ_S/dV₀ , possiamo scrivere

{$$\delta p(x)=-\frac {\delta V}{d V_0}\, {\kappa_S} $$}

Notiamo che ora anche la pressione è espressa in termini della variazione di volume. Usando l'equazione (2) trovata sopra, risulta

{$$(3) \quad \delta p(x) =-{\kappa_S} \, \frac {\partial y}{\partial x}$$}

Ora siamo in grado di scrivere la seconda legge riferita a questo strato: ricaveremo la forza dalla differenza delle pressioni ai due estremi dello straterello, e la massa dal suo volume.

La componente {$x$} della forza sul volume d'equilibrio al passaggio dell'onda è data quindi dal prodotto pressione per area sulle due superfici indicate dai segmenti continui in figura, la quantità calcolata sulla faccia destra meno la stessa quantità calcolata sulla faccia sinistra. Occorre considerare solo l'eccesso di pressione {$\delta p$} perchè la pressione d'equilibrio è idrostatica ed è compensata su ogni superficie dalla presenza di gas su entrambi il lati. Si può quindi scrivere che

{$$dF_x = A [p_0 + \delta p(x) - (p_0 - \delta p(x+dx)) ] = A [\delta p(x) - \delta p(x+dx) ] $$}

Il secondo termine {$\delta p(x+dx)$} si può approssimare, come abbiamo fatto più sopra per {$y(x+dx)$}, come {$\delta p(x)$} (che si cancellerà con il primo termine), più la sua derivata parziale rispetto ad {$x$}, moltiplicata per {$dx$}

{$$ (4) \quad dF_x = -A\,\left( \frac{\partial \delta p}{\partial x}\right)dx = A dx\,\, {\kappa_S} \, \frac {\partial^2 y}{\partial x^2}$$}

Nel terzo membro abbiamo sostituito l'espressione (3) per la variazione di pressione. Viceversa la massa è la stessa nel volume {$dV$} e in {$dV_0$} ed è semplicemente {$dm = \rho dV_0 = \rho Adx$}. Possiamo ora inserire questi termini, la forza (4), la massa e l'accelerazione (1) nella seconda legge della dinamica, {$dF_x = dm\, a_x$}. Entrambi i membri risultano proporzionali a {$dV_0 = Adx$}, che si può quindi semplificare, e si ottiene

La forza totale nella direzione x esercitata dal resto del gas sul volume compreso tra le superfici indicate dalle linee continue è data dal prodotto dell'area A per la differenza delle due pressioni

{$$(5) \quad \kappa_S \, \frac {\partial^2 y}{\partial x^2} = \rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$}

Questa è l' equazione delle onde per la funzione d'onda y(x,t). Le onde si propagano con velocità

{$$c=\sqrt{\frac{\kappa_S}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma RT} {M_m}}$$}

dove {$M_m=M/n$} è la massa molare. Stimiamo questa velocità a {$T = 293$} K, con '{$M_m = 28$} g/mole (azoto) e {$\gamma = 1.4$} (molecola biatomica). Si ottiene {$c = 349$} m/s. Viceversa alle stesse condizioni di pressione e temperatura per l'elio, monoatomico ({$\gamma = 1.67$}) e di massa 2 g/mole, si ottiene {$c = 1424$} m/s. La differenza implica che a parità di lunghezza d'onda (ad esempio lunghezza delle cavità vocale in cui l'aria è messa in vibrazione dalla membrana delle corde vocali in maniera risonante) la frequenza dell'onda dipende dal mezzo secondo {$\omega=ck$} ossia in elio la frequenza del suono della voce è molto più acuta, come mostra questo video.

Una soluzione dell'equazione trovata è la funzione armonica vista all'inizio, {$y(x,t)=Y\sin(\omega t \pm kx)$}, l'onda di spostamento longitudinale, con la condizione che sia {$\omega=ck$}. Ma qui sopra abbiamo visto che anche la pressione oscilla attorno ad un valor medio {$p_0$} con una escursione {$\delta p(x,t)$}, proporzionale alla derivata parziale di {$y$} rispetto ad {$x$}. Calcolando questa derivata otteniamo:

{$$\delta p(x,t)= - \kappa_S \frac{\partial y}{\partial x} = \mp \kappa_S \,kY \,\cos(\omega t \pm kx)$$}

Notiamo che {$kY=Y 2\pi/\lambda$} è un numero, mentre {$\kappa_S=\gamma p_0$} ha le dimensioni di una pressione: il regime oscillatorio richiede che l'ampiezza {$Y$} sia molto minore della lunghezza d'onda {$\lambda$} e quindi l'ampiezza con cui oscilla la pressione è una frazione piccola del valore d'equilibrio {$p_0$}.

Siccome dalle equazioni (2) e (3) si vede immediatamente che la variazione di lunghezza dello straterello {$\delta V/dV_0$} coincide con {$\delta p/p_0$} e quindi con la derivata parziale di {$y$} rispetto a {$x$}, possiamo confermare che tutti e tre questi rapporti sono piccoli. Questo si realizza se consideriamo straterelli piccoli rispetto alla lunghezza d'onda {$\lambda = 2\pi/k$}.

In modo simile si ricava l'andamento della densità. Mentre il volume dello straterello d'aria compie una espansione relativa {$\delta V(x,t)/dV_0$}, la densità relativa {$\delta\rho(x,t)/\rho_0$} subisce la stessa variazione, cambiata di segno, ossia

{$$\delta \rho(x,t)=\rho_0\frac{\partial y}{\partial x} = \mp \rho_0\, kY\,\cos(\omega t \pm kx)$$}

la cui ampiezza ha chiaramente la dimensione di una densità, visto che {$kY$} è adimensionale. Notiamo che l'onda di pressione e quella di densità sono in fase tra loro e sfasati di π/2 rispetto all'onda di spostamento, {$y(x,t)$}.