ModuloDiCompressibilita

Prendiamo un volume di una sostanza e comprimiamolo con la stessa pressione in tutte le direzioni (pressione idrostatica) A pressione atmosferica siamo già in questa condizione, ed è l'aria che fornisce la pressione, ma possiamo pensare di applicare pressioni maggiori di quella atmosferica.

E' evidente che in questo caso un gas diminuirà molto di volume, mentre la variazione del volume di un solido sarà molto piccola. Supponiamo che anche la variazione di volume sia la stessa in tutte le direzioni (isotropica), come in figura. La differenza di comportamento tra gas e solido si misura attraverso il modulo di compressibilità, che è il rapporto tra la variazione di pressione e la variazione percentuale di volume che ne risulta

{$$ \kappa = - \frac {dp} {\frac {dV}{V}} = - V \frac {\partial p}{\partial V}$$}

Il segno meno è dovuto al fatto che un aumento di pressione ({$dp>0$}) determina in quasi tutti i materiali una diminuzione di volume ({$dV<0$}). Quindi il segno meno fa sì che il coefficiente sia di norma positivo. Notare che {$\kappa$} ha la dimensione di una pressione e si misura in Pa.

La compressibilità è il coefficiente inverso, ossia la variazione percentuale di volume diviso la variazione di pressione

{$$ \beta = - \frac 1 V \frac {\partial V}{\partial p}$$}

e si misura in Pa^-1

(*) Attenzione! In fisica accade purtroppo che il modulo di compressibilità, bulk modulus in inglese, sia indicato con la lettera B e la compressibilità, suo inverso, sia indicata con la lettera kappa. Su wikipedia il modulo è indicato con K e la compressibilità come qui.

(figura da Wikipedia)

Un rapporto analogo è quello tra variazione della pressione e variazione relativa della densità

{$$ \kappa^\prime=\frac {dp} {\frac {d\rho} {\rho}}= \rho \frac {\partial p}{\partial \rho} $$}.

che non richiede il segno meno perchè un aumento di pressione porta ad un aumento di densità. Tra l'altro il denominatore, a sua volta un rapporto tra due densità, garantisce che anche questa grandezza ha le dimensioni di una pressione e inoltre consente di utilizzare indifferentemente la densità di massa ({$m/V$}, massa per unità di volume) oppure ad esempio la densità molare ({$n/V$}, numero di moli per unità di volume).

{$\kappa^\prime$} si calcola facilmente, ad esempio con la densità molare {$\rho=n/V$}:

{$$\kappa^\prime= \rho \,\frac 1 {\frac {\partial \rho}{\partial p}} = \rho \,\frac 1 {\frac {\partial \rho}{\partial V}\,\frac {\partial V}{\partial p}} =\frac n V \,\, \frac 1 {\frac {\partial n /V} {\partial V} }\,\,\frac {\partial p}{\partial V} = \frac n V \,\,\left(- \frac {V^2} n \right)\,\,\frac {\partial p}{\partial V} = \kappa$$}

ossia il rapporto di {$dp$} con la variazione relativa di densità coincide, a meno del segno, con il rapporto con la densità relativa di volume. Le due sono entrambe espressioni del modulo di comprimibilità.

Immaginiamo di comprimere a temperatura costante. Allora la pressione, dalla legge dei gas, vale

{$$p= \frac {nRT} V = \rho RT $$}

E' quindi molto facile calcolare la derivata di {$p$} rispetto a {$\rho$} e quindi conviene calcolare la seconda espressione di {$\kappa_T$},

{$$\kappa_T = \rho \left(\frac {\partial p}{\partial \rho}\right)_T=\rho RT = p$$}

Indice locale

Gas ideale, compressione adiabatica

Immaginiamo ora di comprimere senza scambiare calore con l'ambiente circostante. Questo avviene abbastanza facilmente ad esempio in un gas, per compressioni abbastanza rapide, perchè se non c'è tempo di istaurare moti convettivi il gas si comporta da isolante. Nel ragionamento che segue immaginiamo che resti una trasformazione fatita d stati di equilibrio. Allora deve valere {$pV^\gamma=$} costante, da cui

{$$p={\rm costante}\, {V^{-\gamma}}$$}

Ora conviene usare la prima definizione di {$\kappa$} per ottenere {$\partial p/\partial V = - {\rm costante} \gamma V^{-\gamma -1} $}. Sostituendo ora {$pV^\gamma$} al posto della costante si ottiene

{$$ \kappa_S = - V \left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_S= \gamma p$$}

ossia {$\kappa_S=\gamma\kappa_T$}. Questo significa che se si comprime adiabaticamente il gas risulta più duro di quando si comprime isotermicamente.