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Un possibile esercizio immagina una cella frigorifera a {$T_F$} isolata con una scatola di bassa conduttanza {$K$} da un ambiente a {$T_C$}.
Immagino i termostati e il frigorifero dentro un più grande contenitore adiabatico. Se il frigorifero è basato su un ciclo (ad es. di Carnot) reversibile:
- la cella sostiene un flusso di calore {$\Phi=K(T_C-T_F)$}
- il frigorifero deve estrarre una quantità di calore {$\Phi$} ogni secondo per mantenere le temperature stazionarie. Supponendo {$n$} cicli al secondo ad ogni ciclo la quantità di calore estratta dal termostato freddo è {$Q_F=\Phi/n$} e quella dissipata nel termostato caldo è {$Q_C= Q_F + W$} con una potenza dissipata (calore dissipato al secondo) pari a {$\Phi+P$} dove {$P=nW$} è il lavoro fornito dal motore del frigorifero ogni secondo.
- Se tutti i processi, tranne la conduzione ovviamente, sono reversibili, incluso lo scambio di calore con i termostati le variazioni di entropia per ciclo sono
- nel gas soggetto al ciclo, {$\Delta S _{gas} = 0$} per definizione di ciclo
- nel termostato caldo {$\Delta S_C = Q_c/T_C + \Delta S_{C,cond}$}, dove il secondo termine tiene conto della riduzione di entropia dovuta allla conduzione di calore, {$\Delta S_{C,cond}\ge - Q_c/T_C$}, quindi {$\Delta S_C>0$}
- nel termostato freddo {$\Delta S_F = -QF/T_F + \Delta S_{F,cond}$}, dove il secondo termine tiene conto dell'aumento di entropia dovuto allla conduzione di calore, {$\Delta S_{F,cond}\ge Q_F/T_F$}, quindi {$\Delta S_F>0$}
- in definitiva la variazione totatle di entropia, {$\Delta S _{gas}+ \Delta S_C + \Delta S_F \ge 0$} a causa della sola conduzione, perché {$Q_C/T_C-Q_F/T_F = 0$}
- Se ora il ciclo non è reversibile, e il rendimento è minore del ciclo di Carnot, le variazioni di entropia per ciclo sono
- nel gas soggetto al ciclo, {$\Delta S _{gas} = 0$} per definizione di ciclo (ammesso che ci sia almeno un punto di (quasi) equilibrio nel ciclo
- anche lo scambio coi termostati è irreversibile e determina una variazione di entropia {$\Delta S > Q_C/T_C-Q_F/T_F=0$} che si aggunge a quella della conduzione
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