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Distribuzione di Bose-Einstein
La distribuzione di BE si incontra nel syllabus per la prima volta in Meccanica Statistica, quando si discute il caso di un oscillatore armonico di frequenza {$\omega = (k/m)^{\frac 1 2}$} che abbia solo valori di energia discreti {$E_n=E_0 + n\hbar \omega$} in analogia con altri sistemi quantistici, ad esempio gli atomi. Questo spettro discreto dell'oscillatore armonico si giustifica poi in Meccanica Quantistica trattando formalmente il problema per mezzo di operatori di crezione e distruzione {$a^\dagger,a$}, la cui combinazione {$n=a^\dagger a$} corrisponde ad un operatore numero che commuta con l'Hamiltoniana. Tipicamente quando si calcola in MS la funzione di BE si rischia di non capire perché lo si fa e quando serve si rischia di non ricordare più da dove viene. Nel corso di Fisica della Materia si connettono i due aspetti, utilizzando spesso la funzione nei calcoli (e fare é capire).
La semplice assunzione dello spettro discreto consente di scrivere la funzione di partizione per i microstati di energia {$E_n$} come
{$$Z = \sum_n^\infty e^{-\beta(E_0+n\hbar \omega)}=e^{-\beta E_0}\sum_n^\infty (e^{-\beta\hbar \omega})^n = \frac {e^{-\beta E_0}}{1-e^{-\beta\hbar \omega}}$$}
da cui segue ad esempio che l'energia media vale
{$$U=-\frac {\partial}{\partial \beta} \ln Z = E_0 + \frac {\hbar \omega}{e^{\beta \hbar\omega}-1}$$}
Questo risultato si può leggere come {$U-E_0$}, che risulta pari ad un numero medio di volte l'energia fondamentale {$\hbar \omega$} dell'oscillatore. Il numero medio
{$$\begin{equation}n(\beta \hbar \omega) = \frac 1 {e^{\beta \hbar\omega}-1}\end{equation}$$}
dipende dalla temperatura e risulta essere la grandezza caratterizzante di una distribuzione quantistica. Prende il posto del numero di particelle nell'intervallo di energia {$dE$} attorno all'energia {$E$} della distribuzione di Maxwell-Boltzmann, che è pari a {$e^{-\beta E}/Z$}.
Lo stesso numero medio emerge anche dalla trattazione del corpo nero, svolta all'inizio del corso di Meccanica Quantistica. Brevemente, la fisica classica predirrebbe non solo un'energia media {$U$} infinita per la radiazione elettromagnetica in equilibrio ad una data temperatura, ma anche un calore specifico, {$\partial U/\partial T$}, infinito, derivante dal fatto che ci sono infiniti modi di vettor d'onda {$\mathbf k$} per lo spettro infinito di frequenze {$\omega = c|\mathbf k| = ck$} della radiazione.
Plank risolse il problema postulando lo stesso numero medio di fotoni dato dal fattore {$n(\beta \hbar \omega)$} dell'Eq. (1).
Infine nel corso di Meccanica Quantistica si impara che la statistica quantistica dipende dallo richiesta di simmetria o antisimmetria della funzione d'onda che rappresenta i sistema.
Di conseguenza i bosoni, che risultano avere spin intero, possono occupare in numero arbitrario il medesimo stato, mentre i fermioni, che risultano avere spin semi-intero, possono occupare
ciascuno stato al più una volta (principio di esclusione di Pauli). È chiaro che stiamo immaginando particelle non interagenti.
I bosoni seguono la distribuzione di Bose-Einstein, che costituisce un'estensione dell'Eq. (1). Il modo più semplice per derivarla è di considerare un insieme di bosoni non interagenti di numero non limitato. Supponiamo che il sistema considerato scambi energia e particelle con un termostato alla temperatura {$T$} e al potenziale chimico {$\mu$} (nel caso dell'oscillatore armonico e della radiazione il potenziale chimico è nullo). Siccome le particelle non interagiscono si può considerare un sistema distinto per ogni livello di energia {$\epsilon$} e ci mettiamo quindi nell'insieme gran canonico. In questo caso la funzione di partizione è
{$$Z = \sum_n^\infty e^{-\beta n(\epsilon-\mu)}= \frac 1 {1-e^{-\beta(\epsilon-\mu)}}$$}
Il numero medio di particelle all'energia {$\epsilon$} sarà quindi
{$$\begin{equation} n_B(\beta\epsilon) = \frac 1 \beta \frac 1 Z \left(\frac {\partial Z}{\partial \mu}\right)_T = \frac 1 {e^{\beta(\epsilon-\mu)}-1} \end{equation}$$}
Questo risultato si applica indipendentemente ad ogni livello energetico {$\epsilon$} del sistema di bosoni non interagente
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Distribuzione di Fermi Dirac
Con logica analoga si considerano fermioni non interagenti. Vedremo che l'esempio per eccellenza di questo calcolo statistico è il caso degli elettroni di conduzione nei metalli, se li si tratta come non interagenti (modello dell'elettrone libero). Anche se può sembrare sorprendente che elettroni di conduzione in un campione metallico si possano descrivere come non interagenti, questo modello elementare coglie molte proprietà salienti di questi materiali. Anche in questo caso identificheremo il sottosistema delle particelle che occupano un singolo livello di energia {$\epsilon$}, in equilibrio con un termostato di potenziale chimico {$\mu$}. Ma questa volta la somma sui microstati si deve limitare ai casi {$n=0,1$} per il principio di esclusione. Quindi
{$$ Z = 1 + e^{-\beta (\epsilon-\mu)}$$}
Il numero medio di particelle all'energia {$\epsilon$} sarà quindi
{$$\begin{equation} n_F(\beta\epsilon) = \frac 1 \beta \frac 1 Z \left(\frac {\partial Z}{\partial \mu}\right)_T = \frac 1 {e^{\beta(\epsilon-\mu)}+1} \end{equation}$$}
Questo risultato si applica indipendentemente ad ogni livello energetico {$\epsilon$} del sistema di fermioni non interagenti.
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