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OndeDiBlochVale per elettroni indipendento soggetti a potenziali periodici, caratterizzati da una Hamiltoniana che commuta con tutti gli operatori di traslazione del reticolo. Per godere di questa proprietà il potenziale {$V$} dell'Hamiltoniana {${\cal H} = -\hbar^2\nabla_k^2/2m + V(\mathbf r)$}, deve essere periodico, {$V(\mathbf r+\mathbf R) = V(\mathbf r)$}, ossia deve solo avere componenti di Fourier su vettori del reticolo reciproco {$$V(\mathbf r) = \sum_{\mathbf G} V({\mathbf G}) e^{i\mathbf G \cdot \mathbf r}$$} Quindi {$\cal H$} e gli operatori di traslazione {$T(\mathbf R)$}, visto che {$ [{\cal H},T(\mathbf R)]=0$}, devono avere una base completa di autostati simultanei. Consideriamo gli autostati dell'Hamiltoniana, etichettati da un vettor d'onda {$\mathbf k$} e eventualmente da un indice di banda {$\alpha$} {$${\cal H} \psi_{\mathbf k}^\alpha = \varepsilon_{\mathbf k}^\alpha \psi_{\mathbf k}^\alpha $$} Perché siano autostati delle traslazioni devono obbedire a {$$T ({\mathbf a}_i)\psi_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r) = \psi_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r+ \mathbf a_i) = e^{i\theta_i}\psi_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r)$$} dove l'autovalore deve essere di modulo 1 per conservare la norma. Siccome {$T(\mathbf R)$} sono un gruppo su {$\mathbb Z$}, l'applicazione successiva di un numero intero di traslazioni dei vettori primitivi {${\mathbf a}_i$} deve essere una traslazione. Ad es. per {$\mathbf R = n_1{\mathbf a}_1 + n_2{\mathbf a}_2 + n_3{\mathbf a}_3$} {$$T(\mathbf{R}) = \underbrace{T(\mathbf{a}_1) \cdots T(\mathbf{a}_1) }_{n_1\, volte} \cdot \underbrace{T(\mathbf{a}_2) \cdots T(\mathbf{a}_2) }_{n_2\, volte} \cdot \underbrace{T(\mathbf{a}_3) \cdots T(\mathbf{a}_3)}_{n_3\, volte}$$} Di conseguenza, definendo {$\mathbf k = \sum_{i=1}^3\theta_i/a_i\hat{b_i}$} si può riscrivere, {$\forall \mathbf R$} {$$T(\mathbf R) \psi_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r) = e^{i\mathbf k \cdot\mathbf R} \psi_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r) = \psi_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r+ \mathbf R)$$} Siccome l'autostato della traslazione con autovalore 1 è per definizione l'ampiezza dell'onda di Bloch {$$T(\mathbf R) u_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r) = u_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r) = u_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r+ \mathbf R)$$} ne risulta che gli autostati di {$\cal H$} si possono scrivere {$$ \psi_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r) = e^{i\mathbf k \cdot\mathbf r} u_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r)$$} che è l'enunciato del teorema di Bloch, assieme al fatto che le soluzioni di questa forma sono periodiche nel reticolo reciproco {$\mathbf G$}. Quest'ultima affermazione discende dal fatto che {$u$} è periodica nel reticolo diretto, ossia ha solo componenti di Fourier su vettori del reticolo reciproco, {$u_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r)= \sum_{\mathbf G} u^\alpha(\mathbf k+\mathbf G) e^{i\mathbf G \cdot \mathbf r}$}. Quindi {$$ \psi_{\mathbf k+\mathbf G}^\alpha(\mathbf r) = e^{i(\mathbf k+\mathbf G) \cdot\mathbf r} u_{\mathbf k+\mathbf G}^\alpha(\mathbf r) = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} \sum_{\mathbf G'} u^\alpha(\mathbf k+\mathbf G+\mathbf G') e^{i(\mathbf G'+\mathbf G) \cdot\mathbf r} $$} Basta rinominare il vetore della somma in {$\mathbf G'' = \mathbf G + \mathbf G'$} per riconoscere {$u_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r)$} nelle somme a ultimo membro, e quindi che {$ \psi_{\mathbf k+\mathbf G}^\alpha(\mathbf r) = \psi_{\mathbf k}^\alpha(\mathbf r) $}. |